本日の目標

  1. 相関係数の意味を理解し，2変数の関係を解釈できる
  2. Rで相関係数を計算し（cor()），有意性検定を実行できる（cor.test()）
  3. 散布図と相関係数を組み合わせてデータを説明できる

1. 相関とは

2変数の関係を数値で表す

相関（correlation）とは，2つの変数の間にある直線的な関係の強さと方向を表す指標です。

相関の方向 意味 例
正の相関 一方が増えると他方も増える 身長と体重
負の相関 一方が増えると他方は減る 睡眠時間と疲労度
無相関 2変数に直線的関係がない 誕生月と学力

ピアソンの積率相関係数 r

\[r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum(y_i - \bar{y})^2}}\]

  • 値の範囲：-1 ≤ r ≤ 1
  • r = +1：完全な正の相関
  • r = -1：完全な負の相関
  • r = 0：相関なし

相関係数の目安（絶対値）

r
0.0〜0.2 ほとんど相関なし
0.2〜0.4 弱い相関
0.4〜0.6 中程度の相関
0.6〜0.8 強い相関
0.8〜1.0 非常に強い相関

目安であり，分野や文脈によって解釈が変わることに注意。

2. 散布図で関係を「見る」

# iris データ：がく片の長さと花びらの長さの散布図
ggplot(iris, aes(x = Sepal.Length, y = Petal.Length)) +
  geom_point(color = "steelblue", alpha = 0.6) +
  labs(title = "散布図：がく片の長さと花びらの長さ",
       x = "がく片の長さ (cm)", y = "花びらの長さ (cm)") +
  theme_bw()

# 種ごとに色を分ける
ggplot(iris, aes(x = Sepal.Length, y = Petal.Length, color = Species)) +
  geom_point(alpha = 0.6) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE) +
  scale_color_brewer(palette = "Set1") +
  labs(title = "種ごとの散布図と回帰直線",
       x = "がく片の長さ (cm)", y = "花びらの長さ (cm)") +
  theme_bw()

3. Rで相関係数を計算する

cor()：相関係数の計算

# 2変数の相関係数
cor(iris$Sepal.Length, iris$Petal.Length)
## [1] 0.8717538
# 複数変数の相関行列
iris |>
  select(Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length, Petal.Width) |>
  cor()
##              Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
## Sepal.Length    1.0000000  -0.1175698    0.8717538   0.8179411
## Sepal.Width    -0.1175698   1.0000000   -0.4284401  -0.3661259
## Petal.Length    0.8717538  -0.4284401    1.0000000   0.9628654
## Petal.Width     0.8179411  -0.3661259    0.9628654   1.0000000
# 四捨五入して見やすく
iris |>
  select(Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length, Petal.Width) |>
  cor() |>
  round(2)
##              Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
## Sepal.Length         1.00       -0.12         0.87        0.82
## Sepal.Width         -0.12        1.00        -0.43       -0.37
## Petal.Length         0.87       -0.43         1.00        0.96
## Petal.Width          0.82       -0.37         0.96        1.00

4. cor.test()：相関の有意性検定

相関係数が「偶然ではなく本当に存在する」かどうかを検定します。

仮説の設定

  • 帰無仮説 H₀：母相関係数 ρ = 0（相関はない）
  • 対立仮説 H₁：母相関係数 ρ ≠ 0（相関がある）
# 相関の有意性検定
cor.test(iris$Sepal.Length, iris$Petal.Length)
## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  iris$Sepal.Length and iris$Petal.Length
## t = 21.646, df = 148, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.8270363 0.9055080
## sample estimates:
##       cor 
## 0.8717538

結果の読み方

Pearson's product-moment correlation

t = 21.646, df = 148, p-value < 2.2e-16
95 percent confidence interval:
 0.8270363 0.9055080
sample estimates:
      cor
0.8717538
項目 意味
t t統計量
df 自由度（n - 2）
p-value p値（< 0.05 なら有意）
95% CI 相関係数の95%信頼区間
cor 標本相関係数 r の推定値

5. 結果の報告

論文・レポートでの記述例：

がく片の長さと花びらの長さの間には強い正の相関が見られた，r(148) = .87，p < .001。

APA形式での相関係数の書き方： - イタリック体で r - 括弧内に自由度（= n - 2） - p 値は .001, .01, .05 の水準で報告

6. 注意：相関と因果

相関関係は因果関係を意味しない！

相関があっても，それは「一緒に変化する」ことを示すだけで， 「原因と結果」の関係があるとは限りません。

  • アイスクリームの売り上げと溺死事故件数の相関 → 第3の変数（気温）
  • 「見かけ上の相関」（spurious correlation）に注意

演習

演習1：散布図の作成

mtcars データを使って，馬力（hp）と燃費（mpg）の散布図を作成してください。 - 回帰直線（geom_smooth(method = "lm")）を追加する - 適切なタイトル・軸ラベルをつける

ggplot(mtcars, aes(x = ___, y = ___)) +
  geom_point(color = "___") +
  geom_smooth(method = "lm", se = TRUE) +
  labs(title = "___", x = "___", y = "___") +
  theme_bw()

演習2：相関係数の計算と検定

  1. mtcars の hp と mpg の相関係数を計算してください
  2. cor.test() で有意性を検定し，結果を解釈してください
# 相関係数
cor(mtcars$___, mtcars$___)

# 有意性検定
cor.test(mtcars$___, mtcars$___)

演習3：相関行列

mtcars の mpg, hp, wt, qsec（0〜1/4マイルタイム）の相関行列を作成し， どの変数の組み合わせが最も強い相関を持つか調べてください。

演習4：結果の記述

演習2の結果を，論文・レポートの記述として1〜2文でまとめてください。 （例：「〇〇と〇〇の間には，〇〇な相関が見られた，r(〇〇) = .〇〇, p < .〇〇。」）

本日のまとめ

  • 相関係数 r は -1〜+1 の範囲で2変数の直線的関係を表す
  • cor() で相関係数，cor.test() で有意性検定
  • 散布図と組み合わせてデータを理解する
  • 相関関係 ≠ 因果関係

宿題・予習

  • 演習2・3の結果をスクリプトに保存
  • 次回はカテゴリデータの分析（カイ二乗検定）を学びます
  • 教科書のカイ二乗検定に関する章を読んでおく