本日の目標

  1. カテゴリデータの分析が必要な場面を理解する
  2. クロス集計表（分割表）を作成できる
  3. カイ二乗検定（独立性の検定）をRで実行し，結果を解釈できる

1. カテゴリデータとは

カテゴリデータ（名義・順序尺度）：数値ではなく，グループや分類を表すデータ

カテゴリデータの例 連続データとの違い
性別（男・女） 平均が計算できない
学部（文・理・医…） 「文学部の平均」は意味をなさない
回答（はい・いいえ） 頻度（件数）で分析する

2. クロス集計表（分割表）

2つのカテゴリ変数の組み合わせごとの件数を表にしたものです。

例：タイタニック号の乗客データ

# R組み込みの Titanic データ
# データフレーム形式に変換
titanic <- as.data.frame(Titanic)
head(titanic)
# 性別と生存の2×2分割表を作る
titanic_summary <- titanic |>
  group_by(Sex, Survived) |>
  summarise(Freq = sum(Freq), .groups = "drop")

titanic_summary
# クロス集計表の形式で表示
xtabs(Freq ~ Sex + Survived, data = titanic_summary)
##         Survived
## Sex        No  Yes
##   Male   1364  367
##   Female  126  344

3. カイ二乗検定（独立性の検定）

問い

「性別と生存率は独立（無関係）か，それとも関連があるか？」

仮説の設定

  • 帰無仮説 H₀：性別と生存は独立（関連がない）
  • 対立仮説 H₁：性別と生存は独立でない（関連がある）

カイ二乗統計量

期待度数（H₀が正しいとしたときの理論上の頻度）と観測度数の差から計算します。

\[\chi^2 = \sum \frac{(観測度数 - 期待度数)^2}{期待度数}\]

4. Rでカイ二乗検定を実行する

chisq.test()

# クロス集計表の作成
tab <- xtabs(Freq ~ Sex + Survived, data = titanic_summary)
tab
##         Survived
## Sex        No  Yes
##   Male   1364  367
##   Female  126  344
# カイ二乗検定
chisq.test(tab)
## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  tab
## X-squared = 454.5, df = 1, p-value < 2.2e-16

結果の読み方

Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

X-squared = 454.5, df = 1, p-value < 2.2e-16
項目 意味
X-squared カイ二乗統計量 χ²
df 自由度（= (行数-1)×(列数-1)）
p-value p値

p < .05 ならば「性別と生存は独立でない」（関連がある）と結論できます。

5. 効果量：クラメールの V

p値は「統計的に有意かどうか」を示しますが， 「効果の大きさ」は別途，効果量で表します。

\[V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \cdot (k-1)}}\]

（n = 総度数，k = 行数・列数の小さい方）

# 効果量の計算（手動）
chi2 <- chisq.test(tab)$statistic
n    <- sum(tab)
k    <- min(nrow(tab), ncol(tab))
V    <- sqrt(chi2 / (n * (k - 1)))
round(V, 3)
## X-squared 
##     0.454

クラメールのVの目安

V の値 効果の大きさ
0.1〜0.3 小
0.3〜0.5 中
0.5〜 大

6. 可視化：積み上げ棒グラフ

titanic_pct <- titanic_summary |>
  group_by(Sex) |>
  mutate(pct = Freq / sum(Freq) * 100)

ggplot(titanic_pct, aes(x = Sex, y = pct, fill = Survived)) +
  geom_col() +
  scale_fill_manual(values = c("No" = "#E74C3C", "Yes" = "#2ECC71"),
                    labels = c("No" = "死亡", "Yes" = "生存")) +
  labs(title = "タイタニック：性別と生存率",
       x = "性別", y = "割合（%）", fill = "生存") +
  theme_bw()

7. 結果の報告

論文・レポートでの記述例：

性別と生存の独立性を検定するためにカイ二乗検定を実施した。 その結果，性別と生存の間には有意な関連が認められた， χ²(1, N = 2201) = 454.5, p < .001, V = .45。

演習

演習1：クロス集計表の作成

mtcars データを使って，シリンダー数（cyl）とトランスミッション（am）の クロス集計表を作成してください。

table(mtcars$cyl, mtcars$am)

演習2：カイ二乗検定

演習1のクロス集計表を使って，カイ二乗検定を実施し，結果を解釈してください。

  • 仮説を日本語で書く
  • chisq.test() を実行する
  • p値と自由度を確認し，結論を書く
tab <- table(mtcars$cyl, mtcars$am)
chisq.test(tab)

演習3：可視化

mtcars の cyl（シリンダー数）と am（0=オートマ, 1=マニュアル）の 関係を積み上げ棒グラフで表現してください。

mtcars |>
  mutate(
    am  = factor(am,  labels = c("オートマ", "マニュアル")),
    cyl = factor(cyl, labels = c("4気筒", "6気筒", "8気筒"))
  ) |>
  group_by(cyl, am) |>
  summarise(n = n(), .groups = "drop") |>
  group_by(cyl) |>
  mutate(pct = n / sum(n) * 100) |>
  ggplot(aes(x = cyl, y = pct, fill = am)) +
  geom_col() +
  labs(title = "シリンダー数とトランスミッションの関係",
       x = "シリンダー数", y = "割合（%）", fill = "トランスミッション") +
  theme_bw()

本日のまとめ

  • カテゴリデータの分析にはクロス集計表とカイ二乗検定を使う
  • table() / xtabs() でクロス集計表を作成
  • chisq.test() で独立性を検定
  • 効果量（クラメールの V）も一緒に報告する
  • 積み上げ棒グラフでカテゴリ間の比率を可視化する

宿題・予習

  • 演習2の結果をレポート形式でまとめる（1〜2文）
  • 次回は t検定（2群の平均値の比較） を学びます
  • 教科書のt検定に関する章を読んでおく