今日のゴール

1. 分散・標準偏差が何を測っているか
2. 偏差値の正体
3. 正規分布の 68-95-99.7 則 と、「正規だと仮定してよいか」の確かめ方

到達目標 G1（記述統計）

第2回の結果

52名提出 / 記述は38名が満点

減点した14名のつまずきは 4つの型 に分かれた

どれも今日の「ばらつき」に直接ひびく

① 最多 ―― 「とりあえず消すのが危険な理由」が未記述（3名）

B2が求めたのは3点
除いてよい例 / 除いてはいけない例 / なぜ危険か

異常値（記録の誤り）と本物の極端な値を
区別せずに消すと、本物の情報まで失われる
だから消す前に なぜ外れているのかを確かめる

② 除いてよい／いけないの取り違え（4名）

除いてよいのは、この3つだけ

1. 欠測コード（−999 のような符号）
2. 入力・測定の誤り（訂正、できなければ理由を明示）
3. 対象範囲の限定（目的と手続きを明示）

「平均から遠い」「極端だ」は理由にならない

理由になるのは その値が測りたいものを測れていない という根拠

③ ヒト科除外を「外れ値除去の例」として引いた（2名）

「ヒト科7種を除くと平均は1,754g動くが中央値は209g」

これは 外れ値除去ではない

結論は同じでも やった操作が違う

④ 与えられた数値の書き写し間違い（1名）

アルバイトの時給は 1,050円（1,500円ではない）

結論は変わらないが、代表値の話は
「どの数字を代表させるか」

→ 元の数字は正確に写す

今日につながること

外れ値は、代表値よりも ばらつきに強く効く

二乗するので、遠い値の影響がさらに大きくなる

①②でつまずいた人は、今日も同じところで迷う

クイズ：2つの森、どちらも平均6.0kg

同じような群れ？

平均だけでは分からない

• 森A：ほとんどが6kg前後（SD ≈ 0）
• 森B：半分2kg・半分10kg（SD ≈ 4.1）

平均は分布の 「位置」 しか表さない。
足りないのは 「散らばり」＝ばらつき。

分散が大きい／小さいとは

平均はどちらも158cm。違うのは矢印の長さだけ

ばらつきの測り方

1. 各データの 平均からの差（偏差）
2. プラスマイナスが打ち消す → 二乗して平均 ＝ 分散
3. 単位が日²で読めない → ルートで戻す ＝ 標準偏差(SD)

分散のイメージ ―― なぜ二乗するのか

矢印の長さ（偏差）を 二乗して足し、データ数−1で割る ＝ 分散

偏差値の正体

$$偏差値 = 50 + 10 \times \frac{値 - 平均}{標準偏差}$$

平均50・SD10 に置き直した 相対位置

同じ80点でも、集団のSDが違えば偏差値は変わる

正規分布と 68-95-99.7 則

生の体重の 97.4% が2つ並ぶのは誤植ではない

範囲を広げたのに1種も増えていない

その外側（+2SD〜+3SD）には3種いる
→ ピグミーチンパンジー 35,120 g・スマトラオランウータン 39,696 g・チンパンジー 45,000 g
→ だから ±3SD で 98.5% に増える

ヒストグラムに穴があいている

釣鐘型なら、平均から外へ途切れずに減っていくはず
→ この穴そのものが「正規ではない」証拠

でも、すべてが正規ではない

生の体重の歪度 +7.60（対数なら −0.40）。正規曲線がまるで合わない。

しかも 平均−1SD = −7,254g。体重がマイナスの動物はいない。

「正規だと仮定する」は判断

自然法則ではない

• 68-95-99.7則も、後で習う多くの手法も「正規」前提
• どの量について、何のために正規性を仮定するのかを確認する
  （例：回帰で問題になるのは多くの場合、変数そのものではなくモデルの誤差）
• 鉄則：まずヒストグラムで形を見る