今日のゴール

1. 確率変数・期待値・分散
2. 二項分布：独立な試行 回中の成功回数
3. ポアソン分布：稀な事象の件数（二項→ポアソン）
4. 前提は「 一定＋独立」「発生率一定＋独立」。崩れると分布が壊れる

答え：約17% ＝ ありふれた偶然

公正なコイン（p=0.5）を10回 → 表7回以上：

5〜6回に1回は起きる。イカサマと断じるには弱い

ちょうど7回は 0.117。見ているのは「表が多い側」だけ
（裏が多い側も足す＝両側なら 34.4%）

「珍しさ」を確率で測る → 第8〜9回 検定・p値へ

二項分布 Binom(n, p)

成功確率 の試行を 独立に 回 → 成功回数

Colab：1万セットの実験が理論にぴったり一致（平均5・分散2.5）

前提： 固定／結果は2値／ が毎回同じ／各試行が独立
独立だからかけ算でき、 が一定だからどの回も同じ式で書ける

期待値と分散は、独立の要り方が違う

（ は 成功1・失敗0）とすると

これが今日の要点

後で「平均は同じなのに分散だけが約5.4倍」を見るが、偶然ではない
→ 共分散は期待値の式に出てこない。分散の式にだけ出てくる
（独立は、共分散を0にするための十分条件）

ポアソン分布 Poisson(λ)

一定の時間・空間の範囲で起こる 件数 のモデル
（1日の迷惑電話、1ページの誤植、来客数…）

置いている条件
① 発生率が一定　② 重ならない区間の件数が独立
③ ごく短い区間に複数件がまとまって起こらない

団体客がまとめて来るなら③、昼と深夜でペースが違うなら①が崩れる
例の名前ではなく、条件が置けるかで判断する

二項とポアソン、どう使い分ける

大・ 小（ 一定） → 二項はポアソンに近づく

「 が大きい」とはどのくらいか

に固定して を変え、二項とポアソンの確率の差の最大値を見る

ではまるで別物。 なら差は最大でも約 0.0009

「近づく」は近似であって、一致ではない

「差が0.001未満」≠「小数第3位まで同じ」
の確率：二項 0.17635 / ポアソン 0.17547

もし独立でなかったら？

10人クイズ。1人目はコイン。2人目以降は 8割で直前の人と同じ、
残り2割は自分でコイン（→ 直前と一致する確率は ）

どの人も正解する確率は のまま。 そろいやすくなるだけ

平均は同じ。分散は約5.4倍。極端化！

平均が動かないのは、各人の正解確率が0.5に保たれているから
分散が膨らむのは、答えの間に正の相関（共分散）が生まれたから

「独立でない」＝「分散が増える」ではない

5組に分け、各組の2人目は必ず1人目と 逆 の答えを出すとすると

• 一人ひとりの正解確率は のまま
• どの組もちょうど1人が正解 → 正解者数は いつも5人・分散0

独立ではないのに、独立なとき（2.5）より小さい

何が起きるかは、相関の向きで決まる

これが今期の背骨

独立が崩れる → 二項分布の前提が壊れる
→ 各人の正解確率は同じでも、正解者数は二項分布で予測できない

今日のモデルでは、全員不正解が増えるのと同じだけ全員正解も増える
→ 「集団が間違えやすくなった」とまでは、まだ言えない
示せたのは 結果が極端に振れやすくなる こと

この依存が、情報の集約や多数決の信頼性にどう関わるか
→ 第12回 情報カスケード／第13回 コンドルセの陪審定理