第05回: PCA による次元削減と可視化

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exercise.py	ハンズオン演習スクリプト

ヒントの使い方

python exercise.py --hint 1            # 方向性ヒント
python exercise.py --hint 1 --level 2  # より具体的なヒント
python exercise.py --hint 1 --level 3  # コード例
python exercise.py --check             # 提出前の自己チェック

演習問題への取り組み方

下の講義ノートを読む（事前学習・2時間目安）
exercise.py を実行してグラフを確認する
演習問題（5問）に取り組む
python exercise.py --check で確認する
exercise.py を提出する（締切は授業後1週間）

詰まったとき

# ヒントを見る
python exercise.py --hint N --level 1

# AIに質問する
python ../../ask.py "質問内容"

解決しない場合は Q&A ページの投稿フォームを使ってください。

講義ノート

1. なぜ「次元削減」が必要か

本講義で扱うデータには、気温・騒音・緑化率・混雑度・PM2.5・幸福感・ストレスの7変数があります。7変数を同時に人間の目で眺めることは難しく、変数が増えるほど「どの変数がどう関係しているか」が見えにくくなります。この問題を次元の呪い（curse of dimensionality）と呼びます。

主成分分析（PCA: Principal Component Analysis）は、元の変数の持つ情報をできるだけ保ちながら、少ない次元（主に2〜3次元）に圧縮する手法です。圧縮後の座標軸を主成分（Principal Component）と呼び、PC1・PC2・…と番号をつけます。

2. PCAの直感的なイメージ

散布図の点群に「最も広がりが大きい方向」の軸を引くことを想像してください。その軸が PC1 です。次に、PC1 と直交する方向のうち最も広がりが大きいものが PC2、以降同様です。

数学的には「データの分散を最大化する線形変換を見つける」操作に相当します。データ行列を \(X\)（行: 観測、列: 変数）とすると、共分散行列 \(\Sigma = \frac{1}{n-1} X^\top X\) を固有値分解し、

\[\Sigma \mathbf{v}_k = \lambda_k \mathbf{v}_k\]

を解きます。固有ベクトル \(\mathbf{v}_k\) が第 \(k\) 主成分の方向（ローディングベクトル）、固有値 \(\lambda_k\) がその方向に投影したときの分散の大きさを表します。

直感まとめ: - 固有値が大きい主成分 → データの「違い」をよく捉えている - 固有値が小さい主成分 → ほぼノイズ、捨てても影響が少ない

3. 標準化が必要な理由

PCAは「分散の大きさ」を基準に軸を決めます。そのため、単位が異なる変数をそのまま入力すると、単位が大きい変数が PC1 を独占してしまいます。

今回のデータで例えると: - noise_level は 40〜80 dB の範囲で変動幅が大きい - green_ratio は 0〜1 の範囲しかない

StandardScalerを使って各変数を「平均0・標準偏差1」に変換することで、変数ごとのスケールの違いを取り除き、純粋に「どの変数がデータの構造を説明するか」を評価できるようになります。

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X_df)

4. 寄与率と累積寄与率の読み方

寄与率（explained variance ratio）は、その主成分が元データ全体の分散の何%を説明するかを示します。

\[\text{寄与率}_k = \frac{\lambda_k}{\sum_{j=1}^{p} \lambda_j} \times 100\]

累積寄与率は PC1 から PC\(k\) までの寄与率を積み上げたものです。一般的な目安として、累積寄与率が 70〜80% を超える次元数で打ち切ることが多いですが、これは探索的な分析では柔軟に判断します。

演習データの例では、PC1 と PC2 の2次元だけで累積寄与率が 60% 前後になる場合、「元の情報の約6割を保持した散布図を見ている」と解釈します。残り40%の情報は可視化の外に捨てられていることに注意が必要です。

5. 固有ベクトル（ローディング行列）から主成分を解釈する

固有ベクトル（ローディング）は各元変数が主成分にどれだけ・どの方向に寄与するかを示します。

主成分	正の寄与が大きい変数	負の寄与が大きい変数	解釈の例
PC1	noise_level, crowd_density, stress_score	green_ratio, happiness_score	「都市圧力 vs 快適性」軸
PC2	temperature, pm25	—	「季節・大気汚染」軸

（上表はデータに応じて実際の結果を確認して更新してください）

ローディングの絶対値が大きいほど、その変数は主成分の方向を強く決めています。正負は「向き」を示し、例えば PC1 で noise_level が正・green_ratio が負であれば、PC1 のスコアが大きい地点は「騒音が大きく緑が少ない」地点だと解釈できます。

6. PC1/PC2 散布図の読み方

散布図の各点は1地点に対応し、座標は PC1 スコア（横軸）・PC2 スコア（縦軸）です。

読む手順: 1. 場所種別ごとのクラスターが見えるか確認する（色分けで把握） 2. 大きく分離しているクラスター間の軸方向を読む（PC1 方向か PC2 方向か） 3. その軸方向に対応するローディングを確認し、「なぜ分離しているか」を説明する

例えば「公園」が PC1 の左端、「駅前」が右端に位置する場合、PC1 の解釈（騒音・混雑が右、緑・幸福が左）と整合しています。これがデータ分析における「可視化で仮説を立てる → 統計で確認する」の第一歩です。

7. 本日のまとめ

概念	一言まとめ
PCA の目的	分散を最大化しながら次元を削減する
固有値	各主成分が捉えるデータの広がり（分散）の大きさ
固有ベクトル	各主成分の「方向」＝元変数の重みつき組み合わせ
標準化	スケールを揃えて変数間の公平な比較を可能にする
寄与率	情報の「何%を保持しているか」の指標
スコアプロット	次元削減後の地点の配置（PC1/PC2 空間）

次回予告

第6回ではバイプロットを取り上げます。スコアプロット（地点の分布）とローディング（変数の矢印）を1枚のグラフに重ねることで、「どの変数がどの地点の特徴を作っているか」を直接読み解く方法を学びます。