データを要約する — 統計の考え方ガイド

一言でいうと

たくさんの値を1つの数にまとめる方法は1つではない。平均・中央値・幾何平均はそれぞれ別のものを表していて、どれを使うかはデータの形と、何を知りたいかで決まる。

霊長類の「典型的な体重」は何グラムか

霊長類265種の体重を1つの数で言うとしたら、何グラムと答えるべきでしょうか。素直に平均を取ると 5,881 g です。ところが、体重を軽い順に並べてちょうど真ん中にくる種は 3,006 g で、平均のおよそ半分しかありません。

どちらかの計算が間違っているわけではありません。2つの数は、同じデータの別の側面を表しています。このページでは、代表値とばらつきの指標がそれぞれ何を表しているのかを、体重・群れの大きさ・行動圏の広さで確かめます。

代表値: データ全体を1つの数で代表させた値。平均・中央値・最頻値など。
平均（算術平均）: すべての値を足して、個数で割った値。
中央値: 値を小さい順に並べたとき、ちょうど真ん中にくる値。
ばらつき: 値が代表値のまわりにどれだけ散らばっているか。標準偏差・四分位範囲など。

265種を1本の軸に並べる

下の図は、265種の体重を1つずつ点で打ったものです。体重は31 gから149,325 gまで4,800倍ほど開いているので、横軸は目盛りが10倍ずつ進む対数軸にしています。

平均—

中央値—

幾何平均—

平均より軽い種—

点の上下の位置に意味はありません（重なりを避けるためにずらしています）。濃い点はヒト科の7種です。

平均の線は、点が密集しているところよりはっきり右にあります。265種のうち65 %、つまり3種に2種ほどが平均より軽い種です。平均を押し上げているのは右端の少数の大型種で、ヒト科の7種は種数では3 %にも満たないのに、265種の体重を合計した値の32 %を占めています。

中央値は、値の大きさではなく順位だけで決まります。この265種では、オマキザル科の Cebus capucinus の 3,006 g が中央値そのものです。

要約のしかたを変えてみる

変数

体重群れの大きさ行動圏の広さ

横軸

そのまま対数

帯は四分位範囲（下から25 %〜75 %の種が入る範囲）です。

種の数: —
平均: —
中央値: —
幾何平均: —
標準偏差: —
四分位範囲: —
平均より小さい種: —

ヒト科の7種を除くゴリラ・チンパンジー・オランウータンなど。平均と中央値のどちらがどれだけ動くかを比べる。

ばらつきの指標と、幾何平均

代表値だけでは、値がどれだけ散らばっているかがわかりません。よく使われるのが標準偏差で、各値が平均からどれだけ離れているかを二乗して平均し、平方根を取って元の単位に戻したものです。

標準偏差＝ √{ (各値 − 平均)² の平均 }

標準偏差は平均を基準にしているので、平均と同じく大きな値に強く引っぱられます。体重の標準偏差は 13,110 g で、平均の2倍を超えます。そこで、ゆがんだデータでは四分位範囲もよく使われます。値を小さい順に並べて下から25 %の位置（第1四分位）と75 %の位置（第3四分位）の差で、真ん中の半分の種が入る幅です。

もう1つの選択肢が幾何平均です。値の対数を取ってから平均し、元の単位に戻します。「何倍ちがうか」で散らばるデータでは、対数にすると分布がほぼ左右対称になり、その中心が幾何平均になります。

幾何平均＝ 10 の（log₁₀ 値の平均）乗

体重の分布のゆがみを表す歪度（わいど。0なら左右対称、正なら右に裾を引く）は、そのままでは 7.60 ですが、対数にすると −0.40 まで下がります。3つの変数の要約を並べると次のとおりです。

変数（種の数）	平均	中央値	幾何平均	標準偏差	四分位範囲
体重（265種）	5,881 g	3,006 g	2,120 g	13,110 g	749〜7,078 g
群れの大きさ（216種）	12.3 頭	6.9 頭	6.3 頭	14.6 頭	3.0〜16.1 頭
行動圏の広さ（157種）	1.70 km²	0.19 km²	0.20 km²	4.91 km²	0.05〜0.88 km²

3つとも平均が中央値より大きく、右に裾を引いた分布です。行動圏では、平均より狭い種が85 %にのぼります。

よくある誤解

「平均は、よくある種の値だ」

右に裾を引くデータでは、平均は多くの種より大きな値になります。霊長類の体重では65 %の種が平均より軽く、群れの大きさでは69 %の種が平均より小さな群れです。「平均的な種」は、データの中で典型的な種とは限りません。

「平均 ± 標準偏差の範囲に、大半の値が入る」

この目安は、左右対称な山形の分布を前提にしています。体重で平均から標準偏差を引くと −7,229 g となり、ありえない値になります。群れの大きさでも −2.3 頭です。標準偏差を読む前に、分布の形を確かめる必要があります。

「極端な値は外れ値なので、除いてから要約すればよい」

ヒト科の7種を除くと、体重の平均は 5,881 g から 4,127 g に3割下がりますが、中央値は 3,006 g から 2,797 g と7 %しか動きません。ただしゴリラの体重は測り間違いではなく、実在する種の値です。除くかどうかは統計の都合ではなく、何について知りたいかで決まります。

「ゆがんだデータなら、いつも中央値を使えばよい」

中央値は、右端の種がどれほど重くなっても動きません。それは強みですが、合計や総量が関わる問いでは弱みにもなります。265種の体重の合計の32 %をヒト科7種が占めているという事実は、中央値からは見えません。

授業では、この回で扱っています

授業サイトは誰でも見られます。もう少し踏み込みたい人は、各回のページへどうぞ。

統計学Ⅰ 第2回平均・中央値・最頻値の性質の違いと、外れ値が平均をどれだけ動かすかを、同じ霊長類の体重で確かめる。 統計学Ⅰ 第3回分散と標準偏差が何を測っているかと、正規分布を仮定してよいかを自分で確かめる方法を扱う。 情報活用第4回自分の調査票から平均・ばらつき・分布を出せるかを確かめ、設問を直す。 情報活用第6回集めたデータをCSVで読み込み、欠測値と外れ値を扱いながら基本統計量を出す。 情報入門第6回Excelの数式で、合計・平均・最大値・最小値を求める。

データ：Jones, K. E. et al. (2009) PanTHERIA: a species-level database of life history, ecology, and geography of extant and recently extinct mammals. Ecology 90: 2648. 霊長類376種のうち、成体の体重が記録されている265種、群れの大きさが記録されている216種、行動圏の広さが記録されている157種を使用。
標準偏差は、それぞれの種の集まりを全体として扱い、個数 n で割って計算しています。四分位は、並べた値の間を直線で補って求めています。