第03回　ばらつきを測る／正規分布という「仮定」¶

10/13（火）Ⅱ講 10:35〜12:15・B402教室

平均が同じでも、中身は別物 ―― 分散・標準偏差・偏差値、そして「正規分布」の責任

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この回のゴール¶

分散・標準偏差が「何を測っているか」を説明できる
偏差値の正体（平均50・SD10に置き直した相対位置）を理解する
正規分布の 68-95-99.7 則を知り、「正規だと仮定してよいか」を自分で確かめる

到達目標との対応：G1（記述統計）。

1. 平均だけでは、データは分からない¶

2か所の森で、サルの体重を30頭ずつ測った。どちらも平均6.0kg。同じような群れだろうか？

森A：ほとんどの個体が6kg前後（SD ≈ 0）
森B：半分が2kg、半分が10kg（SD ≈ 4.1）

平均は同じでも中身は正反対。平均は分布の「位置」しか表さない。 足りないのは「どれだけ散らばっているか」＝ばらつきの情報だ。

森Bはそもそも2つの別々の集団が混ざっているのかもしれない（第2回の「二山」の話とつながる）。

2. 分散と標準偏差 ―― なぜ二乗するのか¶

ばらつきは「各データが平均からどれだけ離れているか」で測る。

各データの 平均からの差（偏差） を出す
そのまま足すと プラスとマイナスが打ち消し合って必ず0になる → 二乗してから平均する＝分散
二乗したままだと単位が「点²」で直感的でない → ルートを取って元の単位に戻す ＝ 標準偏差（SD）

なぜ二乗？　なぜルート？

二乗は「符号を消して、大きいズレをより重く見る」ため。ルートは「日²を日に戻して、人間が読める単位にする」ため。だから普段はSDを使う。

霊長類の 妊娠期間日（146種）：

量	値
平均	164.4 日
分散	1,427.2（日²・読みにくい）
標準偏差(SD)	37.8 日（元の単位・これを使う）

SDは「平均からの標準的な散らばり幅」。平均±1SD（約127〜202日）に多くの種が収まる。

ちなみにヒトの妊娠期間は約280日で、この平均から見ると +3SD ほど右にいる。霊長類の中ではかなり長いほうである。

3. 偏差値の正体¶

偏差値は、値を 平均50・標準偏差10 のものさしに置き直しただけ。

\[ 偏差値 = 50 + 10 \times \frac{あなたの値 - 平均}{標準偏差} \]

「平均からSD何個分ずれているか」を 50 中心に表したもの。これを霊長類の体重でやると、壊れる。

種	体重	生のスケール	対数スケール
ネズミキツネザル	31 g	45.5	23.2
ニホンザル	10,115 g	53.2	59.9
ヒト	58,541 g	90.1	71.1
ヒガシゴリラ	149,325 g	159.2	77.1

偏差値159 という数字

まともなテストでは出てこない値である。計算式は間違っていない。壊れているのは、この式が暗黙に置いている前提――データが平均のまわりに左右対称に散らばっていること――のほうだ。

そして反対の端も見てほしい。31gのネズミキツネザル（45.5）と10kgのニホンザル（53.2）は、たった8しか違わない。体重は324倍も違うのにである。

上は青天井、下は潰れる。対数の目盛りに変えれば全部 23〜78 に収まる。同じ種の同じ体重で、変えたのはものさしだけ。

偏差値の読み方

偏差値60 = 平均より1SD上 = 上位約16%（分布が正規のときだけ）。偏差値は「値の大きさ」ではなく「集団の中での位置」。偏差値・Zスコア・標準化――名前は違っても、すべて同じ仮定の上に乗っている。

4. 正規分布と 68-95-99.7 則¶

左右対称で釣鐘型の分布を 正規分布 という。正規分布なら、ばらつきの目安が決まっている：

範囲	理論	対数体重（実データ）	生の体重（実データ）
平均 ±1SD	約 68%	71.7%	97.4%
平均 ±2SD	約 95%	94.7%	97.4%
平均 ±3SD	約 99.7%	100.0%	98.5%

対数の目盛りにした体重はほぼこの通り（歪度 −0.40）。だから正規分布でよく近似できる。一方、生のスケール（歪度 +7.60）はまったく合っていない。

5. 正規分布は「仮定」であって、自然法則ではない¶

世の中のすべてが正規分布ではない。生のスケールの体重に正規分布を当てはめると――

体重の歪度は +7.60（強く右に裾を引く）。対数にした後の −0.40 とは別世界。
釣鐘型の正規曲線は、体重のヒストグラムにまったく合わない。
そして 平均 − 1SD = −7,254 g。体重がマイナスの動物はいない。当てはめた時点で、ありえない領域に確率を配ってしまっている。

正直に言うと、対数にしても「正規分布」ではない

厳密に検定すると（Shapiro-Wilk）、対数スケールでも「正規とは言えない」と出る。妊娠期間日も歪度がほぼ0（−0.06）で見た目は左右対称なのに、山が尖りすぎていて棄却される。

左右対称であることと、正規分布であることは、同じではない。

では対数変換は無駄だったのか。そうではない。±1SDの実測が 97.4% → 71.7%（理論68%）まで近づいたのは事実で、生のスケールよりはるかに使える。

正規分布は「現実の姿」ではなく「近似の道具」である。問うべきは「正規分布か（Yes/No）」ではなく、「この目的に対して、十分な近似か」。

「正規だと仮定する」ことの責任

68-95-99.7則や、後で習う多くの手法は「正規分布である」ことを前提にしている。歪んだデータにそれを当てると、間違った結論になる。 「正規分布だと仮定する」のは中立な前提ではなく、根拠を示すべき判断だ。まずヒストグラムを描いて形を見る、が鉄則。

まとめ¶

概念	ひとこと
分散	平均からの差を二乗して平均（単位は元の二乗）
標準偏差(SD)	分散のルート。ばらつきの標準的な幅（元の単位）
偏差値	平均50・SD10に置き直した相対位置。分布が歪むと破綻する（ゴリラ159）
68-95-99.7則	正規分布なら±1/2/3SDに68/95/99.7%（正規のときだけ）

平均は「位置」、SDは「幅」。両方見て初めてデータが分かる。 正規分布は便利な仮定だが、当てはまるかは自分で確かめるもの。

同じデータでも、ものさしを変えれば偏差値は159にも77にもなる。 数字が出てきたら、どんな仮定の上で計算されたのかを問う。

今日の課題（Moodle提出）¶

配点：100点（自動採点40点＋記述60点）／提出先：Moodle

Colab 03_variability.ipynb を実行したうえで答えること。

パートA：選択問題（自動採点・各10点 ×4＝40点）¶

A1. 2つのクラスはどちらも平均60点。クラスXのSDは3点、クラスYのSDは25点だった。正しいのは？ - (ア) XとYは平均が同じなので、ほぼ同じクラスだ - (イ) Yのほうが点のばらつきが大きく、極端に高い人・低い人が多い - (ウ) Xのほうがばらつきが大きい

A2. 標準偏差について正しいのは？ - (ア) 標準偏差は小さいほど良いクラスだといえる - (イ) 標準偏差は「平均からの標準的な散らばりの幅」を表す - (ウ) 標準偏差は平均と同じ意味で、どちらを使ってもよい

A3. あるテストは平均50点・標準偏差10点だった。70点を取った人の偏差値に最も近いのは？ - (ア) 50　(イ) 60　(ウ) 70　(エ) 80

A4. 「対数目盛りの体重では68-95-99.7則がだいたい成り立ったが、生の体重では成り立たなかった」。その理由として最も適切なのは？ - (ア) 生の体重はデータ数が少なかったから - (イ) 生の体重の分布は右に大きく歪んでおり、正規分布で近似できないから - (ウ) 68-95-99.7則はお金には使えない決まりだから

パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）¶

【全記述に共通・重要】自分のノートの数字を引用すること

各記述には、今日のColabで確認した数値を最低1つ引用すること（例：「妊娠期間日のSDは37.8日」「対数体重は±2SDに94.7%」「生の体重の歪度は+7.60」「ゴリラの偏差値は159.2」）。 引用がない記述は、内容が良くても満点にはなりません。

B1.（30点） ある会社が2つの工場A・Bの製品の重さを測ったところ、どちらも平均500gだったが、AのSDは2g、BのSDは40gだった。「平均が同じだから品質も同じ」と言えるか。SDの意味に触れながら、どちらの工場が安定しているか、その理由とともに説明しなさい。

B2.（30点） 「対数目盛りの体重には正規分布（68-95-99.7則）がだいたい使えたのに、生の体重には使えなかった」のはなぜか。分布の形（歪み）という言葉を使って説明し、「データを見たら何でも正規分布だと仮定してよいわけではない」とはどういうことかを、自分の言葉で述べなさい。

目安：B1・B2あわせて300〜500字。自分の言葉で書くこと。

次回予告

第4回「Python統計処理入門」。ここまで見てきた代表値・ばらつきを、いよいよ自分でコードを書いて求める。Colab・Pandas・NumPy の本格始動。

第03回 ばらつきを測る／正規分布という「仮定」¶