第12回　ベイズ統計の入り口¶

12/22（火）Ⅱ講 10:35〜12:15・B402教室

データで「信念」を更新する、もう一つの確率の見方

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この回のゴール¶

ベイズの確率観（信念の度合い）と、頻度論との違いを説明できる
事前確率・尤度・事後確率と、ベイズ更新の流れを理解する
陽性的中率を計算し、「事前情報を無視すると直感が外れる」ことを体感する

到達目標との対応：G4（ベイズ推定の基礎）。

0. フック：99%正確な検査で陽性。あなたは病気？¶

ある病気の検査は 99%正確（病気の人の99%が陽性、健康な人の99%が陰性）。あなたは陽性だった。本当に病気である確率は？

直感は「99%、もうダメだ…」と言う。本当だろうか。有病率1%の集団で、1万人で考える：

	人数	うち陽性
病気の人	100	99
健康な人	9,900	99（偽陽性！）

陽性になった 198人のうち、本当に病気は 99人。

\[ P(\text{病気}\mid\text{陽性}) = \frac{99}{198} = 50\% \]

直感は99%、実際は50%

病気の人は元々少ない（1%）。だから「健康なのに偶然陽性（偽陽性）」が、本当の陽性と同じくらい出る。直感が外れたのは、事前の情報（有病率1%）を無視したから。これを取り込むのがベイズ。

1. ベイズの3要素¶

\[ \underbrace{P(\text{病気}\mid\text{陽性})}_{\text{事後確率}} = \frac{\overbrace{P(\text{陽性}\mid\text{病気})}^{\text{尤度}}\,\overbrace{P(\text{病気})}^{\text{事前確率}}}{P(\text{陽性})} \]

事前確率：データを見る前の信念（ここでは有病率1%）
尤度：そのパラメータならデータが出やすいか（病気なら陽性が出やすさ）
事後確率：データを見たあとに更新された信念

2. 頻度論 vs ベイズ ―― 2つの世界観¶

	頻度論（これまで）	ベイズ
確率とは	長い目で見た頻度（手続きの当たり率）	信念の度合い（今どれくらい確からしいか）
パラメータ（母平均など）	固定された定数（第7回）	確率分布を持つ（信念として）
やること	データから手続きで推定	事前 × データ → 事後に更新
95%区間	信頼区間（手続きの当たり率）	信用区間（真値がこの中にある確率95%、と言える）

どちらが正しいではなく、世界の捉え方が違う。第7回で「信頼区間の95%は真値が入る確率ではない」と苦労したが、ベイズの信用区間なら「真値がこの中にある確率が95%」と素直に言える。

3. ベイズ更新を見る ―― コインの表確率θ¶

あるコインの「表が出る確率 θ」を知りたい。最初は何も分からないので、θは0〜1のどれも同程度という一様な事前から始め、投げるたびに更新する（表k回・裏(n−k)回を見たら、事後は Beta(1+k, 1+n−k)）。

真の値を0.7として投げていくと：

投げた回数	事後平均	95%信用区間（幅）
0	0.50	0.95
5	0.86	0.46
20	0.68	0.38
100	0.75	0.17

データが増えるほど信念は締まり、真値0.7の近くに絞り込まれる。これがベイズ更新：データを見るたびに信念を上書きしていく。

4. 「事前は主観だから非科学的」？¶

よくある批判。だが――事前が違っても、データが増えれば事後はほぼ一致する。同じ100回の結果（表75回）を、正反対の事前を持つ2人が見ると：

事前	事前平均	事後平均
懐疑的 Beta(2,8)	0.20	0.70
楽観的 Beta(8,2)	0.80	0.75

事前は『非科学』ではなく『出発点』

出発点（信念）が正反対でも、データを見たあとの結論はほぼ同じ（約0.70〜0.76）。データが十分あれば、事前の影響は薄まる。事前は分析を始めるための出発点であって、結論を勝手に決めるものではない。

まとめ¶

概念	ひとこと
ベイズの確率	信念の度合い（今どれくらい確からしいか）
事前→尤度→事後	事前の信念を、データ（尤度）で更新して事後にする
ベイズ更新	データを見るたびに信念を上書き。増えるほど締まる
信用区間	「真値がこの中にある確率95%」と言える（信頼区間とは違う）
❌ 誤り	事前は主観だから非科学／ベイズは頻度論の上位互換

ベイズは『データで信念を更新する』枠組み。頻度論とは世界観が違うだけで、優劣ではない。 検査の例のように、事前情報を無視すると直感は大きく外れる。

今日の課題（Moodle提出）¶

配点：100点（自動採点40点＋記述60点）／提出先：Moodle

Colab 12_bayes.ipynb を実行したうえで答えること。

パートA：選択・数値問題（自動採点・各10点 ×4＝40点）¶

A1. 有病率1%・感度99%・特異度99%の検査で陽性だったとき、本当に病気である確率（陽性的中率）に最も近いのは？ - (ア) 99%　(イ) 90%　(ウ) 50%　(エ) 1%

A2. A1で直感（99%）が大きく外れた理由として最も適切なのは？ - (ア) 検査の精度が低いから - (イ) 病気の人が元々少なく（事前確率が低く）、偽陽性が無視できないから - (ウ) 計算を間違えたから

A3. ベイズの用語で、「データを見る前の信念」を表すのはどれか。 - (ア) 事後確率　(イ) 尤度　(ウ) 事前確率

A4. ベイズ更新について正しいのは？ - (ア) データが増えても事後分布は変わらない - (イ) データが増えるほど事後分布は狭まり、真の値の近くに締まる - (ウ) 事前が違うと、いくらデータを増やしても結論は永遠に一致しない

パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）¶

【全記述に共通・重要】自分の出力を引用すること

記述には、今日のColabで確認した数値を最低1つ引用すること（例：「陽性的中率は50%」「n=100で信用区間の幅が0.17」「正反対の事前でも事後は0.70と0.75」）。引用がない記述は満点になりません。

B1.（30点） 「頻度論」と「ベイズ」の確率の考え方の違いを、自分の言葉で説明しなさい。少なくとも、(1)確率を何と捉えるか、(2)母平均などのパラメータを「固定された定数」と見るか「分布を持つもの」と見るか、の2点に触れること。第7回の信頼区間と、ベイズの信用区間の違いにも触れられるとよい。

B2.（30点） ある人が「ベイズは事前確率という主観を入れるから、非科学的で信用できない」と言っている。今日のシミュレーション（正反対の事前を持つ2人が同じデータを見た結果）をふまえて、この批判に反論しなさい。

目安：B1・B2あわせて350〜550字。自分の言葉で書くこと。

次回予告

第13回「多変量解析への招待（主成分分析 PCA）」。たくさんの変数の背後にある少数の軸を見つける。次元を削減して本質を見る手法へ。

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