第13回 多変量解析への招待：主成分分析（PCA）¶
1/12（火）Ⅱ講 10:35〜12:15・B402教室
たくさんの変数の背後にある、少数の軸を見つける ―― 次元を削減して本質を見る
今日のリンク
- 📊 スライドを開く
- 📓 Colabノートを開く（13_pca.ipynb）
- 📝 課題を提出する（Moodle・第13回）
- 課題の本文はこのページの末尾にあります
この回のゴール¶
- 次元削減（多くの変数を少数の軸にまとめる）の発想を理解する
- PCAの寄与率と負荷を読み、主成分に意味を与えられる
- 「PCAは情報を失う」「主成分に必ず意味があるとは限らない」を理解する
到達目標との対応：G4・G3。
0. フック¶
霊長類データには、体重・妊娠期間・離乳日齢・寿命・産子数… とたくさんの変数がある。 全部の関係を一度に見るのは無理（変数5個でも散布図は10通り、10個なら45通り）。 これらの背後にある「本当の軸」は、いくつあるのだろう？
1. 主成分分析（PCA）の発想¶
生活史に関する5つの変数を使う：体重・妊娠期間・離乳日齢・最長寿命・一腹産子数。
前処理を2つ行う。① 何桁にもまたがる量なので対数にする ② 単位が違う（g・日・月・頭）ので標準化する。
PCAは、これら5次元のデータを、ばらつき（情報）が最も大きい方向に新しい軸を引き直す。最初の軸（第1主成分）が一番多くの情報を持ち、次の軸（第2主成分）がその次…と続く。少数の軸だけ残せば次元を削減できる。
（変数ごとに単位が違う（時間・%・日）ので、まず標準化して土俵をそろえる。）
寄与率：各軸がどれだけ情報を持つか¶
| 主成分 | 寄与率 | 累積 |
|---|---|---|
| 第1主成分 | 73.6% | 73.6% |
| 第2主成分 | 13.4% | 87.0% |
| 第3〜5主成分 | … | 100% |
第1主成分だけで全体の約74%、第2主成分まで合わせると約87%。5次元の本質は、ほぼ2次元に圧縮できる。
2. 主成分の命名 ―― 負荷を読む¶
第1主成分が「何の軸」かは、各変数の効き方（負荷）を見て、人間が命名する。
| 変数 | 第1主成分 | 第2主成分 |
|---|---|---|
| 体重 | +0.48 | +0.21 |
| 妊娠期間 | +0.45 | −0.26 |
| 離乳日齢 | +0.48 | +0.12 |
| 最長寿命 | +0.42 | +0.57 |
| 一腹産子数 | −0.39 | +0.74 |
4つが同じ向きで、産子数だけが逆向き。言葉にすると ――
＋の側：体が大きく、妊娠が長く、乳離れが遅く、長生きし、一度に少ししか産まない −の側：体が小さく、妊娠が短く、乳離れが早く、短命で、一度にたくさん産む
これは生物学で 生活史の「速い－遅い」連続体（fast–slow continuum） と呼ばれるものである。速い戦略＝短く生きてたくさん産む（数で勝負）、遅い戦略＝長く生きて少なく産んで大事に育てる（質で勝負）。
PCAが隠れた軸を浮かび上がらせた
もともと別々だった5つの変数の背後に、1本の“生き方”の軸が隠れていた。 これが次元削減＝本質の抽出。
3. 2次元に圧縮して可視化¶
各種を第1主成分（速い－遅い）と第2主成分の2軸で配置し、科ごとに色を変える。5次元の散布図は描けないが、2次元なら一目で構造が分かる。
注意：PCAには「科」の情報を一切与えていない。5つの数値だけから軸を作った。それなのに ――
| 科 | 第1主成分の平均 |
|---|---|
| コビトキツネザル科 | −4.31 |
| ガラゴ科 | −2.07 |
| オマキザル科 | −1.19 |
| キツネザル科 | −0.80 |
| オナガザル科 | +1.02 |
| クモザル科 | +1.32 |
| テナガザル科 | +1.96 |
| ヒト科 | +3.50 |
分類群が一直線に並んだ。そして最も「遅い」5種はすべてヒト科で、その頂点が Homo sapiens（+4.15）である。反対の端はネズミキツネザル（−5.55）。
PCAは「ヒトは特別だ」と教えたわけではない
5つの数値を、ばらつきが最大になる向きに並べ直しただけである。結果として分類群が並び、ヒトが端に来た。それをどう意味づけるかは、人間の仕事である。
4. 大事な注意¶
- PCAは情報を失う。今回、第1・第2主成分で説明できたのは約87%。残りの約13%は捨てている。圧縮はタダではない。
- 主成分に必ず意味があるとは限らない。第1主成分は「速い－遅い」と読めたが、第2主成分（13.4%）は簡単には命名できない（産子数と寿命が同じ向きに乗っており、生活史の軸では説明しにくい）。現実のデータでは「何だかよく分からない軸」のほうが多い。意味づけ（命名）は人間の解釈で、数学が保証するものではない。
- 使った89種は「5変数すべてに記録がある種」だけである（全376種の24%）。第6回で見たとおり、よく研究された種に偏っている。この軸は、よく調べられた霊長類の軸である。
- 主成分の向き（符号）は反転することがある（数学的には同じ）。
よくある誤り
「PCAで情報は失われない」「主成分には必ずはっきりした意味がある」――どちらも誤り。 圧縮には情報の損失が伴い、意味づけは人間の解釈に委ねられる。
まとめ¶
| 概念 | ひとこと |
|---|---|
| 次元削減 | たくさんの変数を、少数の軸（主成分）にまとめる |
| 主成分 | ばらつき（情報）が最大の方向に引いた新しい軸 |
| 寄与率 | 各主成分が説明する情報の割合（第1主成分74%・累積87%） |
| 負荷と命名 | 各変数の効き方を見て、人間が軸に意味を与える（例：速い－遅い） |
| ❌ 誤り | PCAで情報は失われない／主成分には必ず明確な意味がある |
PCAは『たくさんの変数の背後にある少数の軸』を見つける道具。 ただし情報は一部失われ、軸の意味づけは人間の解釈。 軸を計算するのは機械だが、軸に名前を与えるのは人間だ。ここで直感が戻ってくる。だから命名は「こう呼べそうだ」で止めず、負荷量という証拠に紐づける。次回、この14回を通して何が変わったのかを振り返る。
今日の課題（Moodle提出）¶
配点：100点（自動採点40点 ＋ 記述60点）／ 提出先：Moodle
Colab 13_pca.ipynb を実行したうえで答えること。
パートA：選択問題（自動採点・各10点 ×4＝40点）¶
A1. PCA（主成分分析）の目的として最も適切なのは？ - (ア) たくさんの変数を、情報をなるべく保ったまま少数の軸（主成分）にまとめる - (イ) 2つの変数の因果関係を証明する - (ウ) 欠損値を埋める
A2. 5つの生活史変数のPCAで、第1主成分の寄与率は約何%だったか。 - (ア) 約13% (イ) 約74% (ウ) 約100%
A3. 第1主成分は「体重・妊娠期間・離乳日齢・最長寿命が＋、一腹産子数だけが−」という負荷だった。この軸の命名として最も妥当なのは？ - (ア) 生息地の広さ - (イ) 生活史の「速い－遅い」（長く生きて少なく産むか、短く生きてたくさん産むか） - (ウ) 分類群の新しさ
A4. PCAについて正しいのは？ - (ア) PCAでは情報はいっさい失われない - (イ) 主成分には必ずはっきりした意味がある - (ウ) 次元を削減すると一部の情報は失われ、主成分の意味づけは人間の解釈による
パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）¶
【全記述に共通・重要】自分の出力を引用すること
記述には、今日のColabで確認した数値を最低1つ引用すること（例：「第1主成分の寄与率は73.6%」「2主成分で累積87%」「一腹産子数の負荷は−0.39」「ヒト科が右端に来た」）。引用がない記述は満点になりません。
B1.（30点） 今日のPCAの結果（寄与率と負荷）を読んで、第1主成分が「何を表す軸」かを、負荷の符号（どの変数が＋でどの変数が−か）を根拠に説明し、あなた自身の言葉で命名しなさい。
B2.（30点） 友人が「PCAを使えば、たくさんの変数を2次元にまとめても情報は何も失われないし、出てきた主成分には必ずはっきりした意味がある」と言っている。今日の結果（累積寄与率など）をふまえて、この考えのどこが間違いかを2点指摘しなさい。
目安：B1・B2あわせて350〜550字。自分の言葉で書くこと。
次回予告
第14回「総括：不確実な世界で、孤高の意思決定をするための道具として」。第1回の直感クイズに戻り、14回で手に入れた道具を振り返る。最終回。