第07回　推定：点推定と区間推定¶

11/17（火）Ⅱ講 10:35〜12:15・B402教室

「信頼区間95%」の、本当の意味 ―― ほとんどの人が誤解している

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この回のゴール¶

点推定と区間推定の違いを説明できる
95%信頼区間 \( \bar{x} \pm 1.96 \times SE \) を計算できる
「95%」の正しい意味（手続きの当たり率）を理解し、よくある誤解を正せる

到達目標との対応：G2（統計的概念の正しい理解）。

0. まず自分の答えを書いてみよう¶

「95%信頼区間」とはどういう意味だと思いますか？

多くの人はこう答える：「真の値が、95%の確率でこの区間の中にある」。

――この答え、実は誤りだ。なぜかを、シミュレーションで確かめる。

1. 点推定 ―― 1つの値で当てる¶

標本平均を母平均の推定値として使うのが点推定。だが標本ごとに値は揺れ、母平均（今回は619）にぴったりは当たらない。

標本	点推定（標本平均）	母平均とのズレ
1	580	−39
2	632	+13
…	…	…

点推定は「当たり」を言い切るが、必ず少しズレる。だから「どれくらい外れうるか」＝幅が欲しくなる。

2. 区間推定 ―― 幅を持たせる¶

標本平均の散らばりは標準誤差 SE（第6回）。正規分布では95%が平均±1.96SDに入るので：

\[ 95\%\text{信頼区間} = \bar{x} \pm 1.96 \times SE \]

例：ある標本で \( \bar{x}=580 \)、SE≈51.9 なら、95%信頼区間は [478, 682]。この区間は母平均619を含んでいる。

3. では「95%」とは何の確率か？　―― ここが核心¶

「真の母平均が、95%の確率でこの区間に入る」と思いがち。だが――

母平均は『動かない』

母平均 μ は固定された定数（619で不動）。区間 [478, 682] も計算すれば固定。 固定した値が固定した区間に「95%の確率で入る」は意味をなさない。 入っているか・いないか、どちらかでしかない。

ではランダムなのは何か。『区間のほう』だ。標本を取り直すたびに区間は動く。

その手続きを何度も繰り返すと、作った区間の約95%が母平均を含む。

これが95%の正体だ。

シミュレーション：100本の信頼区間¶

母平均を固定し、標本を取って95%信頼区間を作る、を100回くりかえす：

100本中およそ95本が母平均（固定）を含んだ
残り約5本は外した

「95%」とは、この区間作りを繰り返したときの当たり率であって、「いま手元の1本に真値が95%で入っている」ではない。手元の1本は、当たっているか外しているかのどちらか（どちらかは分からない）。

4. 信頼度と幅のトレードオフ¶

「もっと確実に当てたい」なら信頼度を上げる。すると区間は広がる。

信頼度	半幅（×SE）	値（n=30）
90%	1.645 × SE	約 85
95%	1.96 × SE	約 102
99%	2.576 × SE	約 134

確実にしたい（99%）ほど区間は広く＝ぼんやりする。極端に「100%確実」にすれば幅は無限大（「年収は0〜∞万円」）＝何も言っていないのと同じ。確実さと精密さは両立しない。

まとめ¶

概念	ひとこと
点推定	標本平均1つで母平均を当てる。必ず少しズレる
区間推定	\( \bar{x} \pm 1.96 \times SE \) で「だいたいこの範囲」
95%の意味	手続きを繰り返すと約95%の区間が真値を含む（当たり率）
よくある誤り	「真値が95%でこの区間に入る」「μが確率的に動く」
信頼度と幅	確実にするほど区間は広がる（トレードオフ）

母平均は固定。ランダムなのは区間のほう。 「95%」は、この区間作りを100回やれば約95回当たる、という手続きの当たり率。「95%」を「この区間に真値がある確率」と読みたくなるのは、確率が動く先を取り違えているからだ。第1回のモンティ・ホールで確率が移動することを見落としたのと、同じ種類の間違いである。

今日の課題（Moodle提出）¶

配点：100点（自動採点40点＋記述60点）／提出先：Moodle

Colab 07_estimation.ipynb を実行したうえで答えること。

パートA：選択問題（自動採点・各10点 ×4＝40点）¶

A1. 「95%信頼区間」の意味として最も正しいのは？ - (ア) 真の母平均が、95%の確率でこの1本の区間の中にある - (イ) 同じ手続きで区間作りを繰り返すと、作った区間の約95%が母平均を含む - (ウ) 標本の95%がこの区間の中にある

A2. シミュレーションで95%信頼区間を100本作ったとき、母平均を含んだのはおよそ何本か。 - (ア) 50本　(イ) 68本　(ウ) 95本　(エ) 100本

A3. 母平均 μ について正しいのは？ - (ア) μ は標本ごとに確率的に動く - (イ) μ は固定された定数で、動くのは標本ごとに作られる区間のほう - (ウ) μ は95%の確率でしか存在しない

A4. 信頼度を 95% → 99% に上げると、信頼区間の幅は？ - (ア) 狭くなる　(イ) 広くなる　(ウ) 変わらない

パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）¶

【全記述に共通・重要】自分の出力を引用すること

記述には、今日のColabで確認した数値を最低1つ引用すること（例：「100本中95本が母平均を含んだ」「95%CIの半幅は約102」）。引用がない記述は満点になりません。

B1.（30点） 次の説明文は、よくある誤りを含んでいる。どこが誤りかを指摘し、正しい説明に書き直しなさい。

「95%信頼区間 [478, 682] が得られた。これは、真の母平均がこの区間の中にある確率が95%だということを意味する。」

（ヒント：母平均は固定か、確率的に動くか。ランダムなのは何か。シミュレーションの結果をふまえて）

B2.（30点） 「もっと確実に当てたいなら、信頼度を99%にすればいい」。これは一理あるが、何と引き換えになるのか。さらに、もし「100%確実な区間」を作ろうとすると何が起きるか。信頼度と区間の幅の関係を説明しなさい。

目安：B1・B2あわせて350〜550字。自分の言葉で書くこと。

次回予告

第8回「仮説検定(1)：帰無仮説とt検定」。「差がある」とはどういうことか。そしてp値の、これまた誤解されがちな意味へ。

第07回 推定：点推定と区間推定¶