第06回　確率分布と標本／中心極限定理¶

11/10（火）Ⅱ講 10:35〜12:15・B402教室

なぜ「一部」から「全体」を語れるのか ―― 推測統計のはじまり

今日のリンク

一言でいうと

でたらめに選んだ一部の平均は、全体の平均のまわりに、決まった形で散らばる。だから一部を調べるだけで、全体を「どれくらいの誤差で」言えるかまでわかる。ただし、その「でたらめに選ぶ」が崩れると、数をいくら増やしても直らない。

考え方をガイドで確かめる

この回の考え方は、統計の考え方ガイドの「標本から全体を知る」でも解説しています。霊長類のデータを動かしながら確かめられます。

この回のゴール¶

母集団と標本の違いを説明できる
中心極限定理（CLT）：母集団がどんな形でも、標本平均の分布は正規分布に近づくことを体感する
標準誤差 \( SE = \sigma/\sqrt{n} \) を理解し、「数の多さは偏りを直さない」ことを知る
発展：\( \mathbb{E}[\bar{X}]=\mu \) と \( \mathrm{Var}[\bar{X}]=\sigma^2/n \) から \( SE=\sigma/\sqrt{n} \) を、自分で導ける

到達目標との対応：G1（記述統計から推測統計への橋）。

前回の補足 ―― 交絡と「媒介」は違う¶

先に、言葉の定義

交絡（confounding）：\( X \) と \( Y \) の両方を動かす第三の変数 \( Z \) があり、そのせいで \( X \) と \( Y \) に相関が出ること。\( X \) から \( Y \) への矢印はない。
媒介（mediation）：\( X \) が \( Y \) を引き起こすとき、その作用が途中の変数 \( M \) を経由していること。この \( M \) を媒介変数という。\( X \) から \( Y \) への因果はある。
介入：\( X \) の値を、外から変えてみること（「もし雨を止められたら」）。相関を眺めるだけでなく、変えたら何が起きるかを問う見方である。
統制する：第三の変数の影響を差し引いて見ること（第5回でやった偏相関がこれ）。

第5回では、相関を因果と読んではいけない理由を3つ挙げた（交絡・逆因果・偶然）。説明が足りなかったものが1つある。媒介（mediation） である。これは3つの仲間ではなく、むしろ逆のものだ。

媒介は「因果ではないもの」ではない。因果の一種である

矢印で書くと、違いは一目で分かる。

交絡： \(X \longleftarrow Z \longrightarrow Y\) ―― \(X\) と \(Y\) のあいだに矢印がない → \(X\) は \(Y\) の原因ではない
媒介： \(X \longrightarrow M \longrightarrow Y\) ―― 矢印でつながっている → \(X\) は \(Y\) の原因である

媒介変数 \(M\) は、因果の経路の途中にいる。経路の上にあるものを挟んでいるだけなので、\(X\) から \(Y\) への道は切れていない。

そしてほとんどの因果は、何かを媒介する。 運動 → 体重が減る → 血圧が下がる。教育 → 収入が上がる → 健康になる。朝食 → 血糖が安定する → 集中力が上がる → 成績。もし「媒介だから因果ではない」としてしまうと、世の中から因果がほぼ全部消えてしまう。 だからこの読み方は採れない。

同じ場面で、2つを並べてみる。

	例	構造
交絡	傘がよく売れる日は、飲食店の売上が低い	傘の売上 ← 雨 → 売上の低下
媒介	雨が降ると、飲食店の売上が下がる	雨 → 外出が減る → 来店が減る → 売上が下がる

傘を売るのをやめても、飲食店の売上は戻らない。犯人は雨である。一方、雨をやめさせられたら、売上は戻る。雨は本当に売上を下げている。

同じ「雨」の場面なのに、傘と売上は見かけの相関、雨と売上は本物の因果である。

見分ける道具は「介入したらどうなるか」

	交絡	媒介
第三の変数を統制すると	相関が消える	相関が消える
\(X\) に介入すると \(Y\) は	動かない	動く

アイスの販売を禁止しても、水難事故は減らない（交絡）。雨が止めば、売上は戻る（媒介）。

なお「直接の因果はない」というのは、媒介では正しい。だがそれは因果を否定しない。 \(X\) が \(Y\) に与える効果は「直接の効果＋媒介を通る効果」で、媒介を通るぶんも立派な因果効果である。直接の効果がゼロでも、合計の効果はゼロにならない。

統計だけでは、交絡と媒介は区別できない

上の表の1行目をよく見てほしい。「統制したら相関が消えた」は、交絡でも媒介でも同じように起こる。 だから「統制したら消えたので因果ではない」という推論は、それだけでは成り立たない。

区別するのは数字ではなく、時間順序と仕組みである。 \(X\) より前にあるものが交絡、\(X\) の後に来るものが媒介だ。

第5回の体重の例は、どちらだったのか¶

第5回では、離乳日齢と行動圏の相関 \( r=0.657 \) が、体重を統制すると \( 0.051 \) に消えた。これを「離乳の効果は消えた」と読んだ。その読みが成り立つのは、体重が交絡だからである。

体の大きさが先にあり、それが「離乳が遅いこと」と「行動圏が広いこと」を両方決めているなら → 交絡。離乳そのものに効果はない
離乳が先にあり、「離乳が遅い → 体が大きくなる → 行動圏が広い」なら → 媒介。離乳には（体の大きさを通じた）効果がある

数字はどちらでも \( 0.051 \) になる。 種どうしを比べるとき、体サイズは離乳のペースも行動圏も寿命も決める、より根本的な変数である。だから交絡と読んだ ―― この判断は、相関係数の外側から持ち込んでいる。

持ち帰ってほしいこと

「統制したら相関が消えた」は、それだけでは何も決めない。 決めるのは、どちらが先に来るかという知識のほうである。

第5回の課題の採点について¶

第5回B2は「身のまわりの例を1つ挙げ、それを因果と読むのが危うい理由を交絡・逆因果・偶然のどれかで説明する」という設問だった。だが、挙げた例が実は本物の因果（媒介）だった場合、この3つの中に正しい箱がない。これは設問の側の不備である。

そのため、媒介の例を交絡と呼んだ答案は、仕組みがきちんと書けていれば減点を抑えて採点する。 次に同じ設問を出すときは、「自分の例が本当に因果だった場合は、相関≠因果の例になっていない」と課題文に書く。

1. フック：なぜ一部で全体が分かる？¶

視聴率は、全国数千万世帯のうちたった数百世帯を調べて出している。
味噌汁の味見は、鍋全体を飲まなくてもひと匙で分かる。

なぜ一部で全体を語れるのか。その数学的な裏づけが 中心極限定理 だ。

2. 母集団と標本¶

母集団（population）：本当に知りたい全体
標本（sample）：実際に調べる一部

今日の母集団は「体重の記録がある霊長類265種」。

母集団	値
母集団の大きさ N	265 種
母平均 μ	5,881 g
母標準偏差 σ	13,110 g
歪度	+7.60（右に強く歪む＝正規ではない）

歪度7.60 は極端である

一般に「歪んでいる」と言われるデータの歪度は1〜2程度。この母集団で中心極限定理が本当に効くのかが、今日の見どころになる。

3. 標本平均は、母平均の周りに散らばる¶

母集団から n=30 種を無作為に選んで平均を取ると、母平均（5,881g）に近いがぴったりではない値が出る。数十gの種と数万gの種が混ざっているので、大型種が1種でも多く入れば標本平均は跳ね上がる。1回では運に左右される。

そこで n=30 の標本取り→平均を2000回くりかえすと、標本平均たちはどう散らばるか？

標本平均の平均 ≈ 5,850 g（母平均5,881とほぼ一致）
標本平均のばらつき（SD）≈ 2,300 g
標本平均の分布の歪度 ≈ 1.3（母集団の7.60から大きく下がった＝正規に近づいた）

中心極限定理（CLT）

母集団がどんな形（歪んでいても）でも、標本平均をたくさん集めると、その分布は正規分布に近づく。だから「一部」から「全体の平均」を語れる。

ただし、まだ正規分布ではない

よく「n が30あれば正規分布とみなしてよい」と言われる。だが歪度1.3は、決して0ではない。分布は右にまだ裾を引いている。

「n=30ルール」は、母集団がそこそこ対称なときの目安にすぎない。この母集団のように極端に歪んでいると、30では足りない。

4. 標本サイズ n を増やすと「締まる」¶

n を 5・30・100・500 と変えて標本平均の分布を比べると、2つのことが同時に起きる。

① ばらつきが小さくなる（締まる） ―― そのばらつきが 標準誤差（Standard Error, SE）：

\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

② 形が正規分布に近づく（ただし、ゆっくり）

n	SE の理論値 \( \sigma/\sqrt{n} \)	実測SD	歪度
母集団	―	13,110	7.60
5	5,863	5,674	3.62
30	2,394	2,430	1.49
100	1,311	1,333	0.79
500	586	581	0.30

n を 4倍にすると SE は半分。だから「精度を2倍にするには4倍のデータが要る」。データを増やす効果は、増やすほど鈍くなる。

導出①：\( SE=\sigma/\sqrt{n} \) はどこから来るか

標本 \( X_1,\dots,X_n \) を母集団から独立に同じ分布で選ぶ。各 \( X_i \) について \( \mathbb{E}[X_i]=\mu \)、\( \mathrm{Var}[X_i]=\sigma^2 \)。

まず、当て方が偏っていないこと。期待値は和と定数倍について線形（\( \mathbb{E}[aX+bY]=a\mathbb{E}[X]+b\mathbb{E}[Y]\)）なので、

\[ \mathbb{E}[\bar{X}] \;=\; \mathbb{E}\!\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right] \;=\; \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[X_i] \;=\; \frac{1}{n}\cdot n\mu \;=\; \mu \]

§3で見た「標本平均の平均が母平均とほぼ一致する」は、この式の実測である。

次に、ばらつき。分散は独立な確率変数の和について加法的（\( \mathrm{Var}[X+Y]=\mathrm{Var}[X]+\mathrm{Var}[Y]\)）で、定数倍は二乗で効く（\( \mathrm{Var}[aX]=a^2\mathrm{Var}[X]\)）。したがって、

\[ \mathrm{Var}[\bar{X}] \;=\; \mathrm{Var}\!\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right] \;=\; \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}[X_i] \;=\; \frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 \;=\; \frac{\sigma^2}{n} \]

平方根を取ると \( \mathrm{SD}[\bar{X}] = \sigma/\sqrt{n} \)。これが標準誤差である。

すぐ上の「n を4倍にすると SE は半分」は、ここから出る。\( \sqrt{4}=2 \) だからで、経験則ではなく式の帰結である。上の表の SE の理論値が 5,863 → 2,394 → 1,311 → 586 と動くのも、すべてこの式に n を入れた値だ。

数値で確かめる：この母集団から n=30 を20万回選ぶと、標本平均の平均は 5,879 g（母平均 5,881 g）、標本平均の分散の実測は 5,703,853 で、理論値 \( \sigma^2/n = 5{,}728{,}867 \) の 0.996 倍。

この式は『独立』を使っている

分散の加法性が成り立つのは、\( X_i \) が互いに独立（または無相関）のときだけ。§6で扱う「みんなが空気を読んで答えがそろう」状況では独立性が壊れ、この式は成り立たない。

なお、期待値のほうは独立を使っていない。当て方が偏らないこと（\( \mathbb{E}[\bar{X}]=\mu \)）は独立でなくても成り立つが、ばらつきの式（\( \sigma^2/n \)）は独立に頼っている。前提が崩れたとき先に狂うのは、当て方ではなく精度の見積もりのほうである。

使った数学：期待値の線形性、分散の加法性と定数倍（微I）。総和の記号操作（線I）。

そして注目すべきは、右の2列の進み方の違いである。ばらつきは 1/√n できれいに縮むのに、歪みはなかなか取れない。n=500 でもまだ0.3残っている。

CLTが言っていること・言っていないこと

CLTは「いつかは正規になる」と言っているだけで、「n=30で正規になる」とは言っていない。 必要な n は、母集団がどれだけ歪んでいるかで決まる。

尺度を選ぶと、必要な n が変わる¶

第3回で、体重は対数にすると左右対称に近づいた（歪度 7.60 → −0.40）。対数の体重を母集団にすると：

n	歪度（対数スケール）	歪度（生スケール）
5	−0.20	3.54
30	0.03	1.38

対数にすると、n=5 の時点でもう十分に対称。生のスケールで n=500 かけても届かなかった水準である。

同じデータ、同じ標本サイズ。違うのは尺度だけ。どの尺度で分析するかは、必要なデータ量を左右する実務的な判断でもある。

（ただし注意：対数の平均を戻しても元の平均にはならない。対数で分析すると「幾何平均」の話になる。何を推定したいのかで選ぶこと。）

導出②：中心極限定理は、何を仮定して何を主張しているか

標本平均 \( \bar{X} \) から、その平均 \( \mu \) を引き、その標準偏差 \( \sigma/\sqrt{n} \) で割る。これを標準化という。

\[ Z \;=\; \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \]

導出①の結果を入れるだけで、この Z の平均と分散が出る。期待値の線形性から、

\[ \mathbb{E}[Z] \;=\; \frac{\mathbb{E}[\bar{X}]-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \;=\; \frac{\mu-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \;=\; 0 \]

定数倍が二乗で効くことから、

\[ \mathrm{Var}[Z] \;=\; \frac{\mathrm{Var}[\bar{X}]}{\sigma^2/n} \;=\; \frac{\sigma^2/n}{\sigma^2/n} \;=\; 1 \]

n がいくつであっても、Z の平均は0、分散は1である。ここまで分布の形は一切使っていない。

そのうえで、中心極限定理が主張しているのは次のことである。

仮定：\( X_i \) が互いに独立に同じ分布から選ばれ、その分散が有限であること。母集団の形は問わない。
主張：n を大きくしていくと、この Z の分布が標準正規分布 \( N(0,1) \) に近づく。
言っていないこと：「n がいくつ以上なら正規分布になる」とは言っていない。どのくらいの n で足りるかは、母集団がどれだけ歪んでいるかで決まる。

平均0・分散1は n によらず成り立つのに、形が正規に近づくのは n を増やしたときだけ。上の表で、ばらつきが \( 1/\sqrt{n} \) できれいに縮むのに歪度が 7.60 → 1.49 → 0.30 とゆっくりしか下がらないのは、この2つが別のことだからである。この区別が、「n=30ルール」を鵜呑みにしないための鍵になる。

定理そのものの証明は、この科目では扱わない

中心極限定理の証明には特性関数（積率母関数）が必要で、これはこの授業で扱う統計数理の範囲外である。ここで示したのは「何が仮定で何が結論か」という定理の読み方であって、定理の証明ではない。

第7回では、この Z が正規分布に近いことを使って、母平均を挟む区間（信頼区間）を作る。

使った数学：期待値の線形性と分散の定数倍（微I）、標準化というスケール変換（線I）。

5. 大事な区別：「標本そのもの」≠「標本平均の分布」¶

よくある誤解

「標本を取ると正規分布になる」――ちがう。 正規に近づくのは 標本平均の分布であって、標本そのものは母集団と同じ形（歪んだまま）。

標本そのもの（1000回抽出）→ 母集団どおり歪んだ形
標本平均（n=30）の分布 → 正規に近い釣鐘型

混同すると「うちのデータは正規分布だ」と誤って正規前提の手法を使ってしまう。

6. ただし「無作為抽出」が大前提¶

CLTが効くのは、標本が母集団から偏りなく・独立に選ばれているとき。

「声の大きい人」「答えやすい人」ばかり選べば、いくら数を増やしても偏ったまま。これは標本数の問題ではなく、抽出の偏りの問題。
みんなが互いに影響し合って答えをそろえる（＝空気を読む）と、標本の独立性が壊れ、推測の前提が崩れる。

数の多さは、偏りを直さない

偏った集め方をしたデータは、何万件あっても母集団を正しく代表しない。 「たくさん集めた」は「正しく集めた」ではない。

今日の「母集団」自体が、実は偏った標本である¶

ここまで265種を母集団として扱ってきた。しかし この265種は「体重が測られた種」でしかない。霊長類376種のうち、体重の記録があるのは70%。残り111種は測られていない。

そして測られている種には偏りがある。よく研究されてきた科は埋まり、研究者が少ない・観察が難しい科は空欄が多い。

つまり「霊長類の平均体重 5,881g」は、厳密には 「よく研究されてきた霊長類の平均体重」 である。

データの形は、世界の形であると同時に、研究の歴史の形でもある。 どんなに立派な統計手法を使っても、何が測られなかったかは数字の中に現れない。それに気づけるのは、対象を知っている人間だけである。

よくある誤解¶

「標本をたくさん取れば、標本そのものが正規分布になる」

正規分布に近づくのは、標本平均を何度も集めた分布のほうである。1回の標本の中身は、母集団と同じく右に歪んだまま（§5）。混同すると、自分のデータに正規分布を前提にした手法を当てはめてしまう。

「n が30あれば、正規分布とみなしてよい」

霊長類の体重（歪度 7.60）では、n=30 の標本平均の分布にまだ歪度 1.49 が残った（§4の表）。30は母集団がそこそこ対称なときの目安で、必要な n は母集団の歪み方で決まる。対数にすれば n=5 で十分だった。

「数を集めれば、偏りも消える」

消えない。偏った選び方をすれば、何回くり返しても、n をいくら増やしても、標本平均は母平均からずれたままになる（§6）。今日の「母集団」265種も、376種のうち体重が測られた種だけである。

「みんなが同じ答えなら、それだけ確かだ」

中心極限定理も \( SE=\sigma/\sqrt{n} \) も、一つひとつの標本が独立に選ばれていることを前提にしている。互いに影響し合って答えをそろえた集団では、人数を増やしても、ばらつきはある所で下げ止まり、精度はほとんど上がらない（→ 統計学Ⅱ 第6回）。

まとめ¶

概念	ひとこと
母集団 / 標本	知りたい全体 / 実際に調べる一部
中心極限定理(CLT)	母集団がどんな形でも、標本平均の分布は正規に近づく
n=30ルールの限界	母集団が強く歪んでいると30では足りない（歪度7.6→n=30でまだ1.5）
標準誤差 \( SE=\sigma/\sqrt{n} \)	標本平均のばらつき。n を増やすと小さくなる
標本 ≠ 標本平均	正規に近づくのは「標本平均の分布」。標本そのものは母集団の形のまま
無作為抽出	CLTの大前提。偏った抽出は数を増やしても直らない

一部から全体を語れるのは、標本平均がCLTにより正規分布に近づくから。 ただし「無作為に集めた」ことが大前提 ―― 数の多さは偏りを直さない。

教科書に書いてある目安（n=30）を、自分のデータで確かめた。そして通用しなかった。 目安は目安であって、法則ではない。確かめる手段を、あなたはもう持っている。

今日の課題（Moodle提出）¶

配点：100点（選択40点＋記述60点）／提出先：Moodle ／提出期限：次回授業の開始時刻まで

Colab 06_sampling_clt.ipynb を実行したうえで答えること。

パートA：選択問題（各10点 ×4＝40点）¶

A1. 中心極限定理（CLT）について正しいのは？

(ア) 標本を取ると、標本そのものが正規分布になる
(イ) 母集団がどんな形でも、標本平均の分布は正規分布に近づく
(ウ) 母集団が正規分布のときだけ、標本平均も正規分布になる

A2. 標本サイズ n を 5 → 30 → 100 と増やしたとき、標本平均の分布に起きたことは？

(ア) 母平均から遠ざかって広がった
(イ) 母平均の周りにギュッと締まった（ばらつきが小さくなった）
(ウ) 形も位置も変わらなかった

A3. 標準誤差は \( SE = \sigma/\sqrt{n} \)。標本サイズ n を 4倍にすると、SE はおよそ何倍になるか。

(ア) 4倍　(イ) 2倍　(ウ) 1/2倍　(エ) 1/4倍

A4. 「アンケートをとにかくたくさん集めれば、偏りは消えて正確になる」。この考えの問題点として最も適切なのは？

(ア) 正しい。数が多いほど必ず正確になる
(イ) 偏った集め方（例：答えやすい人ばかり）だと、数を増やしても偏りは直らない
(ウ) 数が多いと計算が大変になるだけ

パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）¶

【全記述に共通・重要】自分の出力を引用すること

記述には、今日のColabであなたのノートが出した数値を最低1つ引用すること。ここには値を書かない。自分の画面に出た値を使うこと。 引ける量の例：「母集団の歪度と、n=30の標本平均の歪度」「n=30の標本平均のSDと、σ/√n の値」。 引用がない記述は満点になりません。

B1.（30点） 今日のシミュレーションで、標本サイズ n を 5・30・100 と増やした。標本平均の分布に何が起きたかを、「ばらつき（標準誤差）」と「分布の形（正規への近づき）」の2点に触れて説明しなさい。

B2.（30点） 「視聴率は、全国数千万世帯のうちたった数百世帯を調べて出している」。なぜそんな少数で全国の傾向を語れるのか、中心極限定理の言葉を使って説明しなさい。また、その推測が成り立つために絶対に必要な条件を1つ挙げなさい。

目安：B1・B2あわせて350〜550字。自分の言葉で書くこと。

字数は目安です。多少の過不足で減点はしません。見るのは、設問が挙げた要素（上の箇条書き）が書けているかどうかです。ただし要素が抜けていれば、その分は引きます。

次回予告

第7回「推定：点推定と区間推定」。この標準誤差を使って、母平均を1点ではなく区間で推定する。そして「信頼区間95%」の、誤解されがちな本当の意味へ。

第06回 確率分布と標本／中心極限定理¶