第02回　確率論の基礎(1)：条件付き確率¶

10/6（火）Ⅲ講 13:00〜14:40・B402教室

「情報を得る」とは「確率を更新する」こと。そして今期の主役 「独立性」 を定義する

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この回のゴール¶

条件付き確率 \(P(A\mid B)\) を理解する ―― 情報を得ると確率は更新される
独立を定義できる：\(P(A\mid B)=P(A)\)（Bを知ってもAの確率が変わらない）
「独立」と「排反」を混同しない
独立が今期（二項分布・正規分布・中心極限定理・区間推定・コンドルセ）の前提であることを知る

到達目標との対応：G1（条件付き確率・ベイズ） の出発点であり、G4（独立性） の定義回。

1. 直感クイズ ―― 2人の子ども問題¶

ある家庭に子どもが 2人いる（男女は半々で独立に決まるとする）。いま 「少なくとも1人は女の子」 だと分かっている。

問い：2人とも女の子である確率は？

直感の多くは「もう1人が女か男か、だから 1/2」と答える。だが正解は 約 1/3 だ。

理由は、もともとの組み合わせが等確率で4通りあること。

上の子	下の子	「少なくとも1人女」を満たすか
男	男	✗（消える）
男	女	✓
女	男	✓
女	女	✓（これが「2人とも女」）

「少なくとも1人は女」という情報で (男,男) が消える。残った3通りのうち「2人とも女」は1通り。だから 1/3。情報を得た瞬間、確率が \(1/4 \to 1/3\) に更新された。

Colabで確認

02_conditional.ipynb で10万世帯をシミュレーション → P(2人とも女 | 少なくとも1人女) ≈ 0.333。直感の 0.5 は出てこない。

2. 条件付き確率とは¶

事象 \(B\) が起きたと分かったうえでの \(A\) の確率を 条件付き確率 と呼び、こう書く。

\[P(A\mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

意味は「\(B\) という条件の世界に絞り込み、その中で \(A\) が占める割合」。Colabのコード 両方女[少なくとも1人女].mean() は、まさに 「条件を満たす世帯だけに絞って、その中の割合を測る」 操作だった。

情報を得る＝標本空間を絞り込む＝確率を更新する。 この考え方は第3回のベイズの定理にそのまま続く。

3. 今期の主役 ―― 「独立」¶

ここで、統計学Ⅱでもっとも重要な概念を定義する。

事象 \(A\) と \(B\) が独立であるとは ―― \(B\) を知っても \(A\) の確率が変わらない こと。

\[P(A\mid B) = P(A) \qquad\Longleftrightarrow\qquad P(A\cap B)=P(A)\,P(B)\]

逆に、\(B\) を知ると \(A\) の確率が変わるなら、2つは 従属（独立でない） という。

	例	\(P(A)\)	\(P(A\mid B)\)	判定
独立	コインを2回投げる（A=2投目表, B=1投目表）	0.500	0.500	変わらない → 独立
従属	トランプを戻さず2枚引く（A=2枚目♥, B=1枚目♥）	0.250	0.235	下がる → 従属

「1投目が表でも2投目の確率は変わらない」。一方「1枚目にハートを引くと、山札のハートが減るので2枚目の確率は下がる」。この差が独立かどうかの分かれ目だ。

4. なぜ「独立」が今期の主役なのか¶

これから学ぶ道具は、ほとんどが 「独立」を前提 にしている。

第4回 二項分布 … 独立なコイン投げを \(n\) 回くりかえす
第5回 正規分布 … 独立な多数の要因の和
第6回 中心極限定理 … 独立な標本の平均
第7回 区間推定 … 独立な標本だから誤差が計算できる

そして第12〜13回で、人々が 「空気を読んで」 互いの判断を真似し始めると、この 独立が壊れ、集団の判断が劣化することを見る。

独立とは

「他に影響されず、自分の情報だけで決まっている」状態。これが壊れると、推測統計の土台そのものが揺らぐ。今日その定義を手に入れた ―― これが第13回「コンドルセの陪審定理」への伏線になる。

5. 注意 ―― 「独立」と「排反」は別物¶

よくある混同。サイコロで \(A\)＝「偶数の目」、\(B\)＝「3の目」とする。

\(A\) と \(B\) は排反（同時には起きない。3は偶数ではない）
だが 独立ではない：\(B\)（3が出た）と分かれば \(A\)（偶数）の確率は \(1/2 \to 0\) に変わる

排反は「重ならない」、独立は「影響しない」。 まったく別の概念。Colabでも P(偶数 | 3が出た) = 0.000 となり、条件で確率が激変する＝独立でないことが確認できる。

今日のまとめ¶

概念	意味	式
条件付き確率	\(B\) を知った後の \(A\) の確率。情報で更新	\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
独立	\(B\) を知っても \(A\) の確率が変わらない	\(P(A\mid B)=P(A)\)
排反	\(A\) と \(B\) は同時に起きない（≠独立）	\(P(A\cap B)=0\)

今日の課題（Moodle提出）¶

配点：100点（自動採点40点＋記述60点）／提出先：Moodle

第2回のColabノート 02_conditional.ipynb を上から実行し、結果を見たうえで答えること。

パートA：選択問題（自動採点・各10点 ×4＝40点）¶

A1. 子どもが2人いる家庭で「少なくとも1人は女の子」と分かっているとき、「2人とも女の子」である確率に 最も近い のは？ - (ア) 約 1/4 - (イ) 約 1/3 - (ウ) 約 1/2

A2. 条件付き確率 \(P(A\mid B)\) の説明として 最も適切 なのは？ - (ア) \(A\) と \(B\) が同時に起きる確率 - (イ) \(B\) が起きたと分かったうえで、\(A\) が起きる確率 - (ウ) \(A\) が起きたあとで \(B\) が起きる確率

A3. 事象 \(A\) と \(B\) が独立であることの定義として正しいのは？ - (ア) \(P(A\cap B)=0\)（\(A\) と \(B\) は同時に起きない） - (イ) \(P(A\mid B)=P(A)\)（\(B\) を知っても \(A\) の確率が変わらない） - (ウ) \(P(A)=P(B)\)（2つの確率が等しい）

A4. トランプ52枚（ハート13枚）から、1枚目を戻さずに続けて2枚引く。「2枚目がハート」という事象は、「1枚目がハート」という事象と… - (ア) 独立である（1枚目を知っても2枚目の確率は変わらない） - (イ) 従属である（1枚目がハートだと、2枚目がハートの確率は下がる） - (ウ) 排反である（1枚目がハートなら2枚目はハートになれない）

パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）¶

B1.（30点） 2人の子ども問題で「2人とも女の子」の確率が 1/2 ではなく 1/3 になる理由を、4〜6文で説明しなさい。次の2点に必ず触れること。

情報を得る前は、組み合わせが何通り・それぞれ何の確率だったか
「少なくとも1人は女」という情報で、何が起きて確率が更新されたか

B2.（30点） あなたの身の回りから、「独立でない（従属な）2つの出来事」 を1つ挙げ、次の2点を書きなさい。

その2つの出来事を \(A\)・\(B\) として説明し、なぜ独立でない（一方を知るともう一方の確率が変わる）のかを述べる
もしこの2つを「独立だ」と勘違いして確率を計算すると、どんな間違いが起こりそうか

ヒント：「雨が降る」と「傘を持つ人が増える」、「ある学生が欠席する」と「その友人も欠席する」など。「排反（同時に起きない）」と混同しないこと ―― 独立は「影響しない」、排反は「重ならない」。

文字数の目安：B1・B2あわせて 300〜500字。コピペ・引き写しは評価しない。自分の言葉で書くこと。

次回予告

第3回「ベイズの定理の深掘り」。「精度99%の検査で陽性。本当に病気である確率は？」 ―― 直感は99%、正解は数%。条件付き確率を 逆向き \(P(\text{病気}\mid\text{陽性})\) に使い、データで信念を更新する技術を学ぶ。

第02回 確率論の基礎(1)：条件付き確率¶