第06回　標本分布と中心極限定理の再考¶

11/10（火）Ⅲ講 13:00〜14:40・B402教室

CLTの魔法には「独立」という隠れた前提がある

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この回の考え方は、統計の考え方ガイドの「標本から全体を知る」でも解説しています。霊長類のデータを動かしながら確かめられます。

この回のゴール¶

中心極限定理（CLT）を再確認する：母集団が歪んでいても、独立な標本平均は正規分布に近づく
標準誤差 \(\mathrm{SE}=\sigma/\sqrt{n}\) の意味と、その 独立という前提 を理解する
標本が独立でない（相関する）と、本当のばらつきが SE より大きくなり、推測が崩れることを知る
「\(n\) を増やせば解決」が相関のもとでは通用しないことを見抜く
大数の法則と中心極限定理が別の主張であることを言える
標本誤差と非標本誤差を区別し、\(n\) を増やしても直らない誤差があることを知る
発展：\(\mathrm{Var}[\bar{X}]=\sigma^2/n\) と、相関があるときの \(\dfrac{\sigma^2}{n}\left[1+(n-1)\rho\right]\) を、自分で導ける

到達目標との対応：G1（確率の理解） と G4（独立性と集団判断） をつなぐ、今期の要の回。

1. CLTの復習 ―― 歪んだ母集団でも、標本平均は正規¶

先に定義 ―― よく混同される2つ

大数の法則（law of large numbers）：標本の大きさ \( n \) を大きくしていくと、標本平均は母平均 \( \mu \) に近づく。例：サイコロを投げれば投げるほど、出た目の平均は \( (1+2+\dots+6)/6=3.5 \) に近づく。
中心極限定理（central limit theorem, CLT）：\( n \) を大きくしていくと、標本平均の分布の形が正規分布に近づく（平均 \( \mu \)、分散 \( \sigma^2/n \)）。

大数の法則は「どこに寄るか」、CLTは「どう散らばるか」を言っている。 寄り先を教えるのが前者、寄りかたのばらつき具合を教えるのが後者だ。推定ができるのは前者のおかげ、誤差の大きさが言えるのは後者のおかげである。どちらも独立を前提にしている。

母集団を思いきり歪ませる（指数分布：平均10・右に長い裾、正規とは似ても似つかない）。ここから 独立に \(n=30\) を選んで平均を取る、を1万回くりかえすと――

標本平均の分布は、きれいな正規分布になる。 これが中心極限定理だ。そのばらつき（標準誤差 SE）は理論どおり

\[\mathrm{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

になる。\(n\) を増やせば SE は小さくなる＝推定が精密になる。ここまではⅠの復習。

導出①：\(\mathrm{SE}=\sigma/\sqrt{n}\) を、前提の側から見直す

統計学Ⅰ第6回で導いた式だが、ここでは どの行で独立を使ったか に注目して見直す。

分散は定数倍について \(\mathrm{Var}[aX]=a^2\mathrm{Var}[X]\) なので、

\[\mathrm{Var}[\bar{X}] \;=\; \mathrm{Var}\!\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right] \;=\; \frac{1}{n^2}\,\mathrm{Var}\!\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right]\]

ここまでは、標本が独立でなくても成り立つ。次の1行が問題である。

\[\mathrm{Var}\!\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] \;\overset{\text{独立}}{=}\; \sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}[X_i] \;=\; n\sigma^2\]

和の分散が分散の和になるのは、\(X_i\) が互いに独立（正確には無相関）のときだけだ。これを認めれば

\[\mathrm{Var}[\bar{X}] \;=\; \frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 \;=\; \frac{\sigma^2}{n}, \qquad \mathrm{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

\(\sigma/\sqrt{n}\) という式そのものに「独立」と書いてあるわけではない。独立は、導出の途中の1行に隠れている。だからこの式だけを覚えると、前提ごと見落とす。

使った数学：分散の定数倍と加法性（微I）。総和の記号操作（線I）。

2. 契約書の細かい字 ―― CLTは「独立」を前提にしている¶

いまさらっと 「独立に \(n=30\) を選んで」 と書いた。実は、CLTも \(\sigma/\sqrt{n}\) という式も、標本が独立であることを前提にしている。

では標本が独立でなかったら？アンケートで回答者が 隣の人を気にして似た回答をする（空気を読む）。一人ひとりは母集団から来ているが、互いに相関している。Colabで、各標本内の観測が相関 \(\rho\) で似通うように作り、標本平均の本当のばらつきを測る：

\(n=30\), 母SD=1	標本平均のばらつき
独立を仮定した素朴な SE \(\sigma/\sqrt{n}\)	0.183
実際（独立な標本 \(\rho=0\)）	0.183 ← 一致。CLT通り
実際（相関した標本 \(\rho=0.3\)）	0.570 ← 約3倍に膨らむ

独立なら理論どおり。だが相関すると、本当のばらつきは素朴な \(\sigma/\sqrt{n}\) の約3倍。 つまり「空気を読んだ」標本では、推定は実際よりずっと不確実なのに、\(\sigma/\sqrt{n}\) を信じると 過剰に自信を持つ。検定なら偽の有意差、区間推定なら狭すぎる信頼区間（→第7回）につながる。

導出②：相関があるとき、標本平均の分散はどうなるか

導出①の「独立」の1行を外してみる。一般に、和の分散は共分散の項を持つ。

\[\mathrm{Var}\!\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] \;=\; \sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}[X_i] \;+\; \sum_{i \ne j}\mathrm{Cov}[X_i,X_j]\]

どの2つを取っても相関が同じ \(\rho\) だとすると \(\mathrm{Cov}[X_i,X_j]=\rho\sigma^2\) で、\(i \ne j\) となる組 \((i,j)\) は \(n(n-1)\) 個ある。したがって

\[\mathrm{Var}\!\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] \;=\; n\sigma^2 \;+\; n(n-1)\rho\sigma^2 \;=\; n\sigma^2\left[1+(n-1)\rho\right]\]

\(n^2\) で割って、

\[\mathrm{Var}[\bar{X}] \;=\; \frac{\sigma^2}{n}\left[1+(n-1)\rho\right]\]

\(\rho=0\) を入れると角かっこが 1 になり、導出①の \(\sigma^2/n\) に戻る。独立は、この式の特別な場合にすぎない。

角かっこの中身が、素朴な分散を何倍に膨らませるかを表している。\(n=30\)、\(\rho=0.3\) なら \(1+29\times0.3=9.7\) 倍、標準偏差では \(\sqrt{9.7}=3.11\) 倍。上の表の「約3倍」は、この式が出した値である。

数値で確かめる：\(n=30,\ \rho=0.3,\ \sigma=1\) の理論値 \(\mathrm{SD}[\bar{X}]=0.569\) に対し、2万回のシミュレーションでの実測は 0.573。

使った数学：共分散を含む和の分散（微I）。組の数え上げ（\(n(n-1)\) 通り）。

3. 最大のワナ ―― 「nを増やせば解決」は通用しない¶

「相関が問題なら、サンプルを増やせば？」独立なら確かに \(n\) を増やすほど SE は0に近づく。だが 相関した標本では、\(n\) をいくら増やしても不確実性は0にならない。

\(n\)	独立（\(\rho=0\)）	相関（\(\rho=0.3\)）
30	0.183	0.570
3000	0.018（ほぼ0）	0.542（下がらない）

相関した標本のばらつきは \(\sqrt{\rho}\approx0.55\) で 下げ止まる。3000人集めても、ほとんど精密にならない。

導出③：なぜ \(n\) を増やしても下げ止まるのか

導出②の式を、2つの項に分けて書き直す。

\[\mathrm{Var}[\bar{X}] \;=\; \frac{\sigma^2}{n}\left[1+(n-1)\rho\right] \;=\; \underbrace{\frac{\sigma^2}{n}}_{\text{0 に落ちる}} \;+\; \underbrace{\frac{n-1}{n}\rho\sigma^2}_{\text{落ちない}}\]

第1項は \(n\to\infty\) で 0 に向かう。だが第2項の \(\frac{n-1}{n}\) は 1 に近づくだけなので、

\[\mathrm{Var}[\bar{X}] \;\longrightarrow\; \rho\sigma^2 \qquad (n\to\infty)\]

0 にならない。 \(\rho>0\) である限り、標本平均のばらつきは \(\sigma\sqrt{\rho}\) で下げ止まる。\(\rho=0.3\) なら \(\sqrt{0.3}=0.548\)。本文の \(\sqrt{\rho}\approx0.55\) は、この極限値である。

同じことを「実質何人分か」で言い換えられる。独立な標本で同じばらつきになる人数を 実効標本サイズ といい、\(\dfrac{\sigma^2}{n_{\text{eff}}} = \dfrac{\sigma^2}{n}\left[1+(n-1)\rho\right]\) を解いて

\[n_{\text{eff}} \;=\; \frac{n}{1+(n-1)\rho} \;\xrightarrow[\ n\to\infty\ ]{}\; \frac{1}{\rho}\]

\(\rho=0.3\) なら、何人集めても実効標本サイズは \(1/0.3=3.3\) 人を超えられない。

数値で確かめる：\(\rho=0.3\) のとき、\(n=30\) で \(n_{\text{eff}}=3.09\)、\(n=3000\) でも \(n_{\text{eff}}=3.33\)。3000人が3人分にしかならない。

小さな \(\rho\) でも油断はできない。効くのは \(\rho\) 単独ではなく \((n-1)\rho\) だから、\(\rho=0.01\) という弱い相関でも \(n=3000\) なら \(1+2999\times0.01\approx31\) 倍に膨らむ。\(n\) が大きいほど、わずかな相関が効いてくる。

使った数学：極限（微I）。導出②の式変形。

今期の核心

みんなが空気を読んで似た答えをすると、いくら人数を集めても、独立な少人数ぶんの情報しか得られない。「大勢が賛成しているから確かだ」は、その大勢が互いを見て合わせているなら、まったく根拠にならない。これが第13回 コンドルセの陪審定理（独立な多数は賢いが、空気を読む多数は賢くない）の数理的な正体だ。

4. もうひとつの「n を増やせば解決」の嘘 ―― 誤差には2種類ある¶

第3節で見たのは、標本の中の相関が \( n \) では直らないことだった。実は、\( n \) で直らない失敗はもう1つある。そもそも誰を標本に選んだかである。

先に定義

無作為抽出（random sampling）：母集団のどの個体も、標本に選ばれる確率が等しい抽出法。ランダム＝出鱈目ではない。「手近な人に聞く」は無作為抽出ではない。
抽出枠：実際に抽出のもとにする名簿（有権者名簿、顧客リスト、電話帳）。母集団そのものではない。
標本誤差（sampling error）：正しく無作為抽出しても生じる、標本の値と母数とのずれ。第1〜3節で扱ってきた \( \sigma/\sqrt{n} \) がこれである。
非標本誤差：抽出とは無関係に生じる誤差。名簿の偏り、無回答、記入・入力・集計のミス。

抽出枠は、母集団とずれている¶

名簿は母集団と完全には一致しない。枠に載っていない調査対象（カバー不足）と、枠に載っているが対象でないもの（カバー超過）が、必ず出る。電話帳を名簿に使えば、電話を持たない人は最初から選ばれない。

「渋谷の駅前で100人に聞きました」はなぜ無作為抽出でないのか

選ばれる確率が等しくないから ―― ではなく、もっと手前の問題がある。母集団が何なのかが決まっていない。 渋谷駅前の100人と巣鴨駅前の100人では、答えが違ってよい。何の母集団について語っているのかが言えないなら、標本誤差を計算する意味もない。

母集団に似せて選ぶ（割当法）は、無作為抽出の代わりにならない¶

割当法（quota sampling）：年齢や性別の構成が母集団と同じになるように、人数を割り当てて集める方法。一見もっともらしいが、手段と結果が逆になっている。

無作為に抽出する → 結果として母集団に似てくる
母集団に似せて抽出する → 無作為抽出になるわけではない

似せられるのは、あらかじめ分かっている特性だけである。そして調査の目的は、分かっていない特性を知ることだ。分かっている特性だけを揃えて標本を作ると、肝心の知りたい特性のほうが偏りうる。

1936年 ―― 240万人を集めて、18ポイント外した¶

アメリカ大統領選で、老舗の週刊誌 Literary Digest は約1,000万通の調査票を送り、約240万通を回収した。当時として桁違いの規模である。同誌は共和党ランドンの勝利を予測した。結果は民主党ルーズベルトの圧勝だった。

240万人分のデータがあって、なぜ外したのか。

	値
回収数	約 240万
この \( n \) での理論上の標本誤差（母比率50%・95%）	±0.06%
実際のずれ（ルーズベルトの得票率の見積もりと実績）	4割強と見積もり → 実際は6割超。約18ポイント

理論上の標本誤差のおよそ280倍、外している。 原因は \( n \) の不足ではない。

名簿の偏り：電話帳・自誌の購読者名簿・クラブ会員名簿を使った。大恐慌期に電話や雑誌購読を維持できたのは所得の高い層で、その層は共和党支持に偏っていた（選択バイアス）
無回答バイアス：回収率は2割強。返信した人と、しなかった人は同じではない

一方、新興のギャラップ社ははるかに少ない標本でルーズベルトの勝利を当てた。ただしギャラップ社も割当法を使っており、1948年の選挙では外している。以後、無作為抽出法が定着した。

この回の主張が、2つそろう

\( n \) は、次の2つを直さない。

標本の中が相関していると、\( n \) を増やしても実効標本サイズは \( 1/\rho \) で頭打ちになる（第3節）
抽出が偏っていると、\( n \) を増やしても偏ったままである（本節）

どちらも「たくさん集めたから確かだ」を無効にする。数の多さは、独立性も代表性も買えない。 そして第12〜13回で見るとおり、「みんなが言っているから正しい」も同じ構造の誤りである。

今日のまとめ¶

ポイント	中身
大数の法則とCLT	前者は「どこに寄るか」、後者は「どう散らばるか」。別の主張
CLT	母集団が歪んでいても、独立な標本平均は正規分布に近づく
標準誤差	\(\mathrm{SE}=\sigma/\sqrt{n}\)。ただし独立が前提
独立が崩れると	本当のばらつきが SE より大きい→過剰な自信→偽の有意差・狭すぎる区間
\(n\) を増やしても	相関は消えない。不確実性は \(\sqrt{\rho}\) で下げ止まる

今日の課題（Moodle提出）¶

配点：100点（選択40点＋記述60点）／提出先：Moodle ／提出期限：次回授業の開始時刻まで

第6回のColabノート 06_clt.ipynb を上から実行し、結果を見たうえで答えること。

パートA：選択問題（各10点 ×4＝40点）¶

A1. 中心極限定理（CLT）が述べているのは、次のどれか？

(ア) 母集団そのものが、標本を増やすと正規分布になる
(イ) 母集団がどんな形でも、（独立な）標本平均の分布は正規分布に近づく
(ウ) 標本のヒストグラムは、nを増やすと必ず正規分布になる

A2. 標準誤差 \(\mathrm{SE}=\sigma/\sqrt{n}\) について正しいのは？

(ア) 標本が独立でなくても常に成り立つ
(イ) 標本が独立であることを前提にした式である
(ウ) \(n\) を増やすと SE は大きくなる

A3. Colabで、各標本内の回答が相関する（ρ=0.3、空気を読む）とき、標本平均の「本当のばらつき」は、独立を仮定した素朴な \(\sigma/\sqrt{n}\) と比べてどうだったか？

(ア) ほぼ同じだった
(イ) 約3倍に大きくなった（素朴なSEは精密さを過大評価していた）
(ウ) 約3分の1に小さくなった

A4. 相関した標本（ρ=0.3）で、標本サイズ \(n\) を3000まで増やすと、標本平均のばらつきはどうなったか？

(ア) 独立のときと同じく、ほぼ0まで小さくなった
(イ) \(\sqrt{\rho}\approx0.55\) あたりで下げ止まり、ほとんど小さくならなかった
(ウ) 逆に大きくなり続けた

パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）¶

B1.（30点） 中心極限定理について、①どんな主張か（何が正規分布に近づくのか）②その式 \(\sigma/\sqrt{n}\) が成り立つための前提は何か を、150〜250字程度で説明しなさい。「標本そのもの」と「標本平均の分布」を混同しないこと。

B2.（30点） Colabで、標本が独立でない（空気を読んで相関する）と、本当のばらつきが素朴な標準誤差より大きくなり、しかも nを増やしても下げ止まる ことを見た。これを踏まえて次の2点を書きなさい。

標本が独立でないのに \(\sigma/\sqrt{n}\) を信じて分析すると、結論にどんな間違い（過信）が生じるか
「大勢の人が同じ意見だから、その結論は信頼できる」という主張は、どんなときに成り立たないか。今日の結果を使って説明しなさい

ヒント：B2の2は第13回「コンドルセの陪審定理」の予告。「大勢」が互いに空気を読んでいたら、人数のわりに情報は乏しい。

文字数の目安：B1・B2あわせて 300〜500字。コピペ・引き写しは評価しない。自分の言葉で書くこと。

字数は目安です。多少の過不足で減点はしません。見るのは、設問が挙げた要素（上の箇条書き）が書けているかどうかです。ただし要素が抜けていれば、その分は引きます。

次回予告

第7回「区間推定の理論」。今日の標準誤差から、信頼区間がどう作られるか。そして 独立でない標本では、信頼区間が狭くなりすぎて『95%』が嘘になる ことを確かめる。

第06回 標本分布と中心極限定理の再考¶