第06回 標本分布と中心極限定理の再考¶
11/10（火）Ⅲ講 13:00〜14:40・B402教室
CLTの魔法には「独立」という隠れた前提がある
今日のリンク
- 📊 スライドを開く
- 📓 Colabノートを開く（06_clt.ipynb）
- 📝 課題を提出する（Moodle・第6回）
- 課題の本文はこのページの末尾にあります
この回のゴール¶
- 中心極限定理（CLT）を再確認する：母集団が歪んでいても、独立な標本平均は正規分布に近づく
- 標準誤差 \(\mathrm{SE}=\sigma/\sqrt{n}\) の意味と、その 独立という前提 を理解する
- 標本が独立でない（相関する）と、本当のばらつきが SE より大きくなり、推測が崩れることを知る
- 「\(n\) を増やせば解決」が相関のもとでは通用しないことを見抜く
到達目標との対応：G1（確率の理解） と G4（独立性と集団判断） をつなぐ、今期の要の回。
1. CLTの復習 ―― 歪んだ母集団でも、標本平均は正規¶
母集団を思いきり歪ませる（指数分布：平均10・右に長い裾、正規とは似ても似つかない）。ここから 独立に \(n=30\) を選んで平均を取る、を1万回くりかえすと――
標本平均の分布は、きれいな正規分布になる。 これが中心極限定理だ。そのばらつき（標準誤差 SE）は理論どおり
になる。\(n\) を増やせば SE は小さくなる＝推定が精密になる。ここまではⅠの復習。
2. 契約書の細かい字 ―― CLTは「独立」を前提にしている¶
いまさらっと 「独立に \(n=30\) を選んで」 と書いた。実は、CLTも \(\sigma/\sqrt{n}\) という式も、標本が独立であることを前提にしている。
では標本が独立でなかったら？ アンケートで回答者が 隣の人を気にして似た回答をする（空気を読む）。一人ひとりは母集団から来ているが、互いに 相関 している。Colabで、各標本内の観測が相関 \(\rho\) で似通うように作り、標本平均の本当のばらつきを測る：
| \(n=30\), 母SD=1 | 標本平均のばらつき |
|---|---|
| 独立を仮定した素朴な SE \(\sigma/\sqrt{n}\) | 0.183 |
| 実際（独立な標本 \(\rho=0\)） | 0.183 ← 一致。CLT通り |
| 実際（相関した標本 \(\rho=0.3\)） | 0.570 ← 約3倍に膨らむ |
独立なら理論どおり。だが相関すると、本当のばらつきは素朴な \(\sigma/\sqrt{n}\) の約3倍。 つまり「空気を読んだ」標本では、推定は実際よりずっと不確実なのに、\(\sigma/\sqrt{n}\) を信じると 過剰に自信を持つ。検定なら偽の有意差、区間推定なら狭すぎる信頼区間（→第7回）につながる。
3. 最大のワナ ―― 「nを増やせば解決」は通用しない¶
「相関が問題なら、サンプルを増やせば？」 独立なら確かに \(n\) を増やすほど SE は0に近づく。だが 相関した標本では、\(n\) をいくら増やしても不確実性は0にならない。
| \(n\) | 独立（\(\rho=0\)） | 相関（\(\rho=0.3\)） |
|---|---|---|
| 30 | 0.183 | 0.570 |
| 3000 | 0.018（ほぼ0） | 0.542（下がらない） |
相関した標本のばらつきは \(\sqrt{\rho}\approx0.55\) で 下げ止まる。3000人集めても、ほとんど精密にならない。
今期の核心
みんなが空気を読んで似た答えをすると、いくら人数を集めても、独立な少人数ぶんの情報しか得られない。「大勢が賛成しているから確かだ」は、その大勢が互いを見て合わせているなら、まったく根拠にならない。これが第13回 コンドルセの陪審定理（独立な多数は賢いが、空気を読む多数は賢くない）の数理的な正体だ。
今日のまとめ¶
| ポイント | 中身 |
|---|---|
| CLT | 母集団が歪んでいても、独立な標本平均は正規分布に近づく |
| 標準誤差 | \(\mathrm{SE}=\sigma/\sqrt{n}\)。ただし独立が前提 |
| 独立が崩れると | 本当のばらつきが SE より大きい→過剰な自信→偽の有意差・狭すぎる区間 |
| \(n\) を増やしても | 相関は消えない。不確実性は \(\sqrt{\rho}\) で下げ止まる |
今日の課題（Moodle提出）¶
配点：100点（自動採点40点 ＋ 記述60点）／ 提出先：Moodle
第6回のColabノート 06_clt.ipynb を上から実行し、結果を見たうえで答えること。
パートA：選択問題（自動採点・各10点 ×4＝40点）¶
A1. 中心極限定理（CLT）が述べているのは、次のどれか？ - (ア) 母集団そのものが、標本を増やすと正規分布になる - (イ) 母集団がどんな形でも、（独立な）標本平均の分布は正規分布に近づく - (ウ) 標本のヒストグラムは、nを増やすと必ず正規分布になる
A2. 標準誤差 \(\mathrm{SE}=\sigma/\sqrt{n}\) について正しいのは？ - (ア) 標本が独立でなくても常に成り立つ - (イ) 標本が独立であることを前提にした式である - (ウ) \(n\) を増やすと SE は大きくなる
A3. Colabで、各標本内の回答が相関する（ρ=0.3、空気を読む）とき、標本平均の「本当のばらつき」は、独立を仮定した素朴な \(\sigma/\sqrt{n}\) と比べてどうだったか？ - (ア) ほぼ同じだった - (イ) 約3倍に大きくなった（素朴なSEは精密さを過大評価していた） - (ウ) 約3分の1に小さくなった
A4. 相関した標本（ρ=0.3）で、標本サイズ \(n\) を3000まで増やすと、標本平均のばらつきはどうなったか？ - (ア) 独立のときと同じく、ほぼ0まで小さくなった - (イ) \(\sqrt{\rho}\approx0.55\) あたりで下げ止まり、ほとんど小さくならなかった - (ウ) 逆に大きくなり続けた
パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）¶
B1.（30点） 中心極限定理について、①どんな主張か（何が正規分布に近づくのか）②その式 \(\sigma/\sqrt{n}\) が成り立つための前提は何か を、4〜6文で説明しなさい。「標本そのもの」と「標本平均の分布」を混同しないこと。
B2.（30点） Colabで、標本が独立でない（空気を読んで相関する）と、本当のばらつきが素朴な標準誤差より大きくなり、しかも nを増やしても下げ止まる ことを見た。これを踏まえて次の2点を書きなさい。
- 標本が独立でないのに \(\sigma/\sqrt{n}\) を信じて分析すると、結論にどんな間違い（過信）が生じるか
- 「大勢の人が同じ意見だから、その結論は信頼できる」という主張は、どんなときに成り立たないか。今日の結果を使って説明しなさい
ヒント：B2の2は第13回「コンドルセの陪審定理」の予告。「大勢」が互いに空気を読んでいたら、人数のわりに情報は乏しい。
文字数の目安：B1・B2あわせて 300〜500字。コピペ・引き写しは評価しない。自分の言葉で書くこと。
次回予告
第7回「区間推定の理論」。今日の標準誤差から、信頼区間がどう作られるか。そして 独立でない標本では、信頼区間が狭くなりすぎて『95%』が嘘になる ことを確かめる。