第12回　情報カスケードと集団意思決定¶

12/22（火）Ⅲ講 13:00〜14:40・B402教室

個々は合理的なのに、集団そろって間違える

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この回のゴール¶

情報カスケード ―― 他人の行動を見て自分の私的情報を捨て、多数に従う連鎖 ―― を理解する
カスケードが 合理的な個人 でも起きることを見抜く
カスケードが「判断の独立」を壊すこと、その結果として群衆の知恵が失われることを知る
現実のバブル・流行・取り付け騒ぎとの対応を理解する
発展：カスケードが始まる条件（先行者の差が2つ以上）を、尤度比の不等式から自分で導ける

到達目標との対応：G4（独立性と集団の判断精度） の入口。今期クライマックスの前半。

1. 直感クイズ ―― 行列のできる店¶

2軒のラーメン店。本当はどちらが美味しいか分からない。通りかかった人が1人ずつ「どちらに入るか」を決めていく。各人は ①自分なりの 私的な勘（完璧ではないが五分よりは当たる）と、②先に並んでいる人数（他人の選択）を見て決める。

あなたが店Aに並ぶと、次の人には「Aに○人並んだ店」に見える。これが続くと集団はどうなるか？

2. モデル ―― 私的な情報 vs 他人の行動¶

古典的な「壺と玉」のモデルで考える。

正解（本当に良い選択）は 1（学生には知らせない設定）。
各人は 私的シグナル を受け取る。確率 70% で正解を指す（五分よりは賢いが完璧でない）。
各人は、前の人たちの “選択” は見えるが、その人の私的シグナルは見えない。
各人はベイズ的に 合理的に 判断する。

合理的な判断ルールはこう要約できる ―― 「先行者の選択が一方に2つ以上傾いていたら、自分のシグナル1つでは覆せないので、自分のシグナルを捨てて多数に従う」。

導出①：カスケードをベイズのオッズで書く

正解の選択肢を \(V\)（1 か 0）とする。どちらが正しいか事前には五分五分なので、事前オッズは

\[\frac{P(V=1)}{P(V=0)}=\frac{0.5}{0.5}=1\]

各人が受け取る私的シグナル \(s\) は、確率 \(q=0.7\) で正解を指す。つまり

\[P(s=1\mid V=1)=q,\qquad P(s=1\mid V=0)=1-q\]

第3回のオッズ形式のベイズより、事後オッズは事前オッズに尤度比を掛けたものになる。

\[\underbrace{\frac{P(V=1\mid s)}{P(V=0\mid s)}}_{\text{事後オッズ}}=\underbrace{\frac{P(V=1)}{P(V=0)}}_{\text{事前オッズ}}\times\underbrace{\frac{P(s\mid V=1)}{P(s\mid V=0)}}_{\text{尤度比}}\]

\(s=1\) を受け取ったときの尤度比は \(q/(1-q)=0.7/0.3=7/3\)。事前オッズが 1 なので事後オッズも \(7/3>1\) となり、1 を選ぶ。私的シグナル1つの重みは、尤度比 \(7/3\) という1つの数に集約される。 この先の議論は、すべてこの数の掛け算で進む。

使った数学：条件付き確率とベイズの定理（第3回）。オッズと尤度比の掛け算。

導出②：なぜ「差が2つ」で覆せなくなるのか

先行者の選択も証拠になる。カスケードが始まる前の人は自分のシグナルに従って選ぶので、その人の選択を見ることは、その人のシグナルを見ることと同じである。だから先行者が 0 を選んでいれば、\(s=0\) を1つ観測したのと同じ重み、つまり尤度比 \((1-q)/q=3/7\) を掛けることになる。

いま先行者の選択が 0 のほうに \(d\) 人分傾いていて、自分のシグナルは \(s=1\) だとする。証拠は独立に集まるので尤度比は掛け算になり、事後オッズは

\[\left(\frac{1-q}{q}\right)^{d}\times\frac{q}{1-q}=\left(\frac{1-q}{q}\right)^{d-1}\]

これが 1 より大きければ自分のシグナルが勝ち、小さければ覆せない。\(q>1/2\) なら \((1-q)/q<1\) なので、

\[\left(\frac{1-q}{q}\right)^{d-1}<1 \iff d\ge 2\]

先行者の差 \(d\)	事後オッズ	自分のシグナルは
0	2.33	勝つ
1	1.00	互角
2	0.43	覆せない
3	0.18	覆せない

\(d=1\) でちょうど互角になるのは偶然ではない。先行者1人ぶんと自分のシグナル1つは、まったく同じ大きさの尤度比を持つからである。上の節の「2つ以上傾いていたら従う」というルールは、この不等式から出てくる。 \(q\) の値にもよらない。\(q\) が 0.7 でも 0.9 でも、\(q>1/2\) でありさえすれば \(d\ge2\) で覆せなくなる。

数値で確かめる：\(q=0.7\)、先行2人が 0、自分のシグナルが 1 のとき、事後オッズは \((3/7)^2\times(7/3)=3/7\)、正解が 1 である確率は \(3/10=0.300\)。自分のシグナルは 1 を指しているのに、1 である確率のほうが低い。

使った数学：尤度比の掛け算（独立な証拠）、指数の不等式。

3. 運の悪い出だしが、全員を道連れにする¶

正解は1だが、最初の2人がたまたま外れシグナル(0) を受け取ったとする。Colabで1人ずつ追うと：

順番	自分のシグナル	状態
1	0	自分のシグナルで判断
2	0	自分のシグナルで判断
3	1	カスケード（シグナルを無視）
4〜10	1	カスケード（シグナルを無視）

3人目以降は、自分のシグナルが正解(1)を指しているのに、全員が間違った選択(0)をする。 これは3人目が愚かだからではない。むしろ 合理的だからこそ「先に2人が0を選んだ。自分のシグナル1つでは覆せない」と正しく計算し、自分の情報を捨てて多数に従った。だが先頭2人の選択は偶然の外れシグナルから生まれたもので、それが後続全員に伝染した。これが 情報カスケード。

独立が壊れる瞬間

カスケードが始まると、3人目以降の選択は 自分の私的情報を反映しなくなる。みんなが「前の人」という同じ情報源だけを見て動くので、判断が互いに相関し、独立でなくなる。新しい情報が集団に入らなくなるのだ。

導出③：カスケードが始まると、情報の流れが止まる

\(d\ge2\) になった時点で、その人は自分のシグナルが何であっても同じ選択をする。導出②の不等式が \(s\) の値によらず成り立つからだ。すると、その人の選択を見る次の人にとっては

\[\frac{P(\text{その人が 0 を選ぶ}\mid V=1)}{P(\text{その人が 0 を選ぶ}\mid V=0)}=\frac{1}{1}=1\]

となる。\(V\) が 1 でも 0 でも、その人は必ず 0 を選ぶからである。尤度比が 1 とは、証拠として何の重みもないということだ。 差 \(d\) はもう増えない。後続が何人並んでも、公開される情報は先頭の2人分のまま凍りつく。

ここから2つのことが同時に言える。

カスケードに入った人は合理的に行動している。導出②の計算は正しく、自分のシグナルより先行者の証拠のほうが重いのは事実である。誰も計算を間違えていない。
それでも集団は誤りうる。最初の2人の選択が偶然の外れシグナルから生まれたものなら、その誤りが尤度比として固定され、後続18人の私的情報は一切集団に入らない。

Colabのシミュレーションが、カスケード中に公開情報の差 \(m\) を更新しないのは、この「尤度比が 1」をそのまま実装したものである。

数値で確かめる：\(q=0.7\)、20人で3万回試すと、各自が独立に判断した群衆の多数決は 95.2%、前の人を真似る群れは 84.4% が正解する。一人の賢さはどちらも 70% で同じである。

使った数学：尤度比（第3回）、条件付き確率の計算。

4. シミュレーション ―― 群れは、独立な群衆に負ける¶

シグナルをランダムにして3万回試し、「前の人を真似る群れ」 と 「各自が自分のシグナルだけで独立に判断する群衆」 で正解率を比べる。どちらも一人の賢さ（シグナル正解率70%）は同じ、20人の集団：

集団	正解した割合
各自が独立に判断（群衆）	約 95%
前の人を真似る（情報カスケード）	約 85%

一人ひとりの賢さは同じなのに、真似ると約10ポイント落ちる。 群れが集団的に間違う確率は約16%で、独立な群衆（約5%）の およそ3倍。

真似ることで、後から来た18人の 私的情報が集団に入らなくなり、最初の数人の（時に外れた）判断に全員が引きずられる。個人は合理的でも、集団は系統的に劣化する。

現実のカスケード：株や仮想通貨の バブル、根拠の薄い流行、銀行の 取り付け騒ぎ、レビュー★の数だけで買う行動、SNSの炎上 ―― どれも「他人が動いた」を見て自分の判断を手放した連鎖だ。

5. ディスカッション（教室で）¶

あなたが最近「他人がそうしているから」を主な理由に選んだもの（店・商品・進路・意見）は？そのとき自分の私的な情報をどれだけ捨てた？
カスケードを 止める には何が要るか？（早い段階で“自分のシグナル”を口に出す人、匿名で同時に投票する仕組み等）
「みんなが賛成しているから正しい」は、どんな条件のとき信用でき、どんな条件のとき危険か。

今日のまとめ¶

ポイント	中身
情報カスケード	他人の行動を見て、自分の私的情報を捨てて多数に従う連鎖
なぜ起きる	個人が合理的に「自分のシグナル1つでは多数を覆せない」と判断するから
何が壊れる	後続の選択が私的情報を反映せず、判断が互いに相関＝独立が崩れる
結果	同じ賢さでも、独立な群衆95%に対し、真似る群れは85%。集団が系統的に誤る

今日の課題（Moodle提出）¶

配点：100点（選択40点＋記述60点）／提出先：Moodle ／提出期限：次回授業の開始時刻まで

第12回のColabノート 12_cascade.ipynb を上から実行し、結果を見たうえで答えること。

パートA：選択問題（各10点 ×4＝40点）¶

A1. 情報カスケードの説明として 最も適切 なのは？

(ア) 人々が、自分の私的な情報を捨てて、先行者の行動（多数）に従っていく連鎖
(イ) たくさん検定を繰り返すと偽陽性が増える現象
(ウ) 標本サイズを増やすとp値が小さくなる現象

A2. Colabのシミュレーションで、正解は1なのに最初の2人が外れシグナル(0)を受け取ると、3人目以降はどうなったか？

(ア) 自分のシグナル（正解1）に従って、正しく1を選んだ
(イ) 自分のシグナルが1でも、それを無視して0を選び続けた（誤ったカスケード）
(ウ) 全員バラバラに選んだ

A3. カスケードで3人目が「自分のシグナルを捨てて多数に従う」のは、なぜか？

(ア) 3人目が愚かで、考える力がないから
(イ) 合理的に「自分のシグナル1つでは、先行する2人ぶんの判断を覆せない」と計算したから
(ウ) ルールで強制されているから

A4. Colabで、一人の賢さ（シグナル正解率70%）が同じとき、20人の集団の正解率はどうだったか？

(ア) 真似る群れも独立な群衆も、同じ約95%だった
(イ) 独立な群衆は約95%だが、前の人を真似る群れは約85%に下がった
(ウ) 真似る群れのほうが高かった

パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）¶

B1.（30点） 情報カスケードでは「個人は合理的なのに、集団は系統的に間違える」ことがある。これがなぜ起きるのかを、「私的情報」「他人の行動」「独立」 という言葉を使って150〜250字程度で説明しなさい。「カスケードは個人が愚かだから起きる」という誤解を正すこと。

B2.（30点） あなたの身の回り、または社会で起きた 情報カスケードの例 を1つ挙げ、次の2点を書きなさい。

どこで「人々が自分の私的な情報を捨てて、他人の行動に合わせ始めた」のか
その結果、集団としてどんな（よくない）ことが起きた／起こりうるか

ヒント：流行・行列・株やコインのバブル・SNSの炎上・レビューの星だけで買う、など。第13回（コンドルセの陪審定理）で「独立を保てば集団は賢い」ことを学ぶので、その対比を意識しておくとよい。

文字数の目安：B1・B2あわせて 300〜500字。コピペ・引き写しは評価しない。自分の言葉で書くこと。

字数は目安です。多少の過不足で減点はしません。見るのは、設問が挙げた要素（上の箇条書き）が書けているかどうかです。ただし要素が抜けていれば、その分は引きます。

次回予告

第13回「『空気を読む』ことの愚かさ：コンドルセの陪審定理」。今日の裏返し ―― 独立な多数決はほぼ確実に正解する（コンドルセ）。だが空気を読んで判断が相関すると、その奇跡が崩れる。第1回の予告編を、いよいよ回収する。

第12回 情報カスケードと集団意思決定¶