第04回　離散確率分布：二項分布・ポアソン分布¶

10/20（火）Ⅲ講 13:00〜14:40・B402教室

「独立な試行」を数式にする

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この回のゴール¶

確率変数・期待値・分散を理解する
二項分布：独立な試行 \(n\) 回中の成功回数の分布
ポアソン分布：稀な事象の件数の分布、二項→ポアソン近似
両者の 共通の前提が「独立」 であり、独立が崩れると分布が壊れることを知る

到達目標との対応：G1（確率の理解） と G4（独立性）。

1. 直感クイズ ―― 10回投げて7回表。イカサマ？¶

公正なコイン（表の確率0.5）を10回投げたら表が 7回出た。

問い：これは「イカサマだ」と言えるほど珍しいか？

二項分布で計算すると、7回以上が出る確率は約17%。5〜6回に1回は起きる、ありふれた偶然だ。これだけではイカサマとは言えない。

後の伏線

「珍しさ」を確率で測るこの発想は、第8〜9回の 仮説検定・p値 につながる。「珍しい＝偶然では説明しにくい」をどこで線引きするかが、後の大問題になる。

2. 二項分布 ―― 独立な試行を n 回¶

確率変数：偶然で値が決まる量（ここでは「10回中の表の回数」）。

成功確率 \(p\) の試行を 独立に \(n\) 回くりかえし、成功回数を数えると 二項分布 \(\mathrm{Binom}(n,p)\) になる。

\[P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}, \qquad E[X]=np,\quad V[X]=np(1-p)\]

Colabで1万セットのコイン投げをシミュレーションすると、ヒストグラムが理論の二項分布にぴったり重なり、平均 \(\approx 5\)・分散 \(\approx 2.5\) が再現される。

大前提は『独立』

二項分布は 各試行が独立 であることを前提にしている。1回目の結果が2回目に影響しないからこそ、確率を単純にかけ算できる。この前提が崩れると二項分布は使えない（→第4節）。

3. ポアソン分布 ―― 稀な事象の件数¶

「1日の迷惑電話の件数」「1ページの誤植の数」「1時間の来客数」―― 機会は膨大で、それぞれの確率は小さい 事象の件数は ポアソン分布 \(\mathrm{Poisson}(\lambda)\) になる。

\[P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},\qquad E[X]=V[X]=\lambda\]

\(\lambda\) は「平均して何件起きるか」。二項分布で \(n\) が大きく \(p\) が小さいとき（\(\lambda=np\) 一定）、二項分布はポアソン分布に近づく。Colabで \(n=10,50,500\) と大きくすると、二項分布がポアソン分布に重なっていくのが見える。

	二項分布	ポアソン分布
使う場面	試行回数 \(n\) が決まっている（10回投げる）	機会が膨大で件数だけ分かる（1日の件数）
パラメータ	\(n,\ p\)	\(\lambda\)（平均件数）
共通の前提	各試行が独立	各事象が独立

4. もし試行が「独立でなかったら」？¶

二項分布もポアソン分布も、前提は 各試行が独立。では独立が崩れたら？

10人が順番に答えるクイズで、各人が 8割の確率で前の人の答えを真似る（空気を読む）とする。一人ひとりはコインで決めるつもりでも、互いに影響し合っている。Colabで「10人中の正解者数」の分布を見ると：

	平均	分散	極端な結果（全員一致）の割合
独立に判断	約5.0	約2.5	0.2%
8割で真似る	約5.0	約13.5	38%

平均は同じ。だが分散は約5倍に膨らみ、0人や10人といった極端な結果が激増する。 みんなが同じ方向に流れるからだ。

今期の背骨

独立が崩れると、二項分布という前提が成り立たない。「平均は同じ」でも「ばらつきは激増」する。この『真似ると極端な結果が増える』現象こそ、第12回 情報カスケード・第13回 コンドルセの陪審定理 で集団の判断を狂わせる正体だ。今日その種を見た。

今日のまとめ¶

分布	何の分布か	式	前提
二項分布	独立な試行 \(n\) 回中の成功回数	\(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)	各試行が独立
ポアソン分布	稀な事象の件数	\(\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)	各事象が独立

今日の課題（Moodle提出）¶

配点：100点（自動採点40点＋記述60点）／提出先：Moodle

第4回のColabノート 04_discrete.ipynb を上から実行し、結果を見たうえで答えること。

パートA：選択問題（自動採点・各10点 ×4＝40点）¶

A1. 公正なコイン（p=0.5）を10回投げて、表が 7回以上 出る確率に 最も近い のは？ - (ア) 約 2%　(イ) 約 17%　(ウ) 約 50%

A2. 二項分布 \(\mathrm{Binom}(n,p)\) の期待値（平均）と分散の組として正しいのは？ - (ア) 平均 \(np\)、分散 \(np(1-p)\) - (イ) 平均 \(p\)、分散 \(np\) - (ウ) 平均 \(np\)、分散 \(\lambda\)

A3. 次のうち、ポアソン分布 でモデル化するのが最も自然なのはどれか？ - (ア) サイコロを20回振って6が出る回数 - (イ) ある書店に1時間あたりに来店する客の人数 - (ウ) 10人の学生のうち、特定の1人が選ばれるかどうか

A4. Colabで「10人が8割の確率で前の人の答えを真似る（独立でない）」場合、独立なときと比べて起きたことは？ - (ア) 平均も分散もほとんど変わらない - (イ) 平均はほぼ同じだが、分散が大きく増え、全員一致のような極端な結果が増えた - (ウ) 平均が大きく下がった

パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）¶

B1.（30点） 二項分布とポアソン分布について、①それぞれどんな場面で使うか ②両者に共通する前提は何か を、具体例を1つずつ挙げながら4〜6文で説明しなさい。

B2.（30点） Colabの最後で、「各人が前の人を真似る（独立でない）」と、10人中の正解者数の 分散が大きく膨らみ、全員一致のような極端な結果が増える ことを見た。これを踏まえて次の2点を書きなさい。

なぜ「真似る（独立が崩れる）」と、平均は同じなのに極端な結果が増えるのか、自分の言葉で説明する
もし現実に「みんなが独立に判断していると思い込んで」二項分布で予測したら、実際の集団（真似合う集団）に対してどんな読み違いをするか

ヒント：B2は第12〜13回（情報カスケード・コンドルセの陪審定理）の予告になっている。「みんなが同じ方向に流れる」とき何が起きるか、を意識して書くとよい。

文字数の目安：B1・B2あわせて 300〜500字。コピペ・引き写しは評価しない。自分の言葉で書くこと。

次回予告

第5回「連続確率分布：正規分布の数理」。なぜ世界は正規分布だらけなのか ―― 答えはまた独立にある（多数の独立な要因の和）。そして「すべてが正規」ではないことも見る。

第04回 離散確率分布：二項分布・ポアソン分布¶