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第04回　離散確率分布：二項分布・ポアソン分布

10/20（火）Ⅲ講 13:00〜14:40・B402教室

「独立な試行」を数式にする

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この回のゴール

  • 確率変数・期待値・分散を理解する
  • 確率変数に 離散型と連続型 があることを理解する（値を1つずつ数え上げられるか、測定の目盛りをいくらでも細かくできるか）
  • 二項分布：独立な試行 \(n\) 回中の成功回数の分布
  • ポアソン分布：一定の範囲で起こる件数の分布、二項→ポアソン近似
  • 両者が置いている前提（成功確率が一定・各試行が独立 ／ 発生率が一定・区間ごとに独立）を言えるようになり、独立が崩れると分布が壊れることを知る
  • 発展：二項分布の式 \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) と、\(E[X]=np\)・\(V[X]=np(1-p)\) を、自分で導ける

到達目標との対応：G1（確率の理解） と G4（独立性）。

1. 直感クイズ ―― 10回投げて7回表。イカサマ？

公正なコイン（表の確率0.5）を10回投げたら表が 7回 出た。

問い：これは「イカサマだ」と言えるほど珍しいか？

二項分布で計算すると、7回以上が出る確率は約17%（\(P(X\ge 7)=0.1719\)）。5〜6回に1回は起きる、ありふれた偶然だ。これだけではイカサマとは言えない。

ここで見ているのは「表が多い側」だけ

ちょうど7回の確率（\(P(X=7)=0.1172\)）と、7回以上の確率（\(0.1719\)）は別物である。ここで見ているのは後者、しかも「表が多い側」だけだ。「どちら向きでも同じくらい偏る確率」を見るなら、裏が多い側も足して \(P(X\le 3)+P(X\ge 7)=34.4\%\) になる。片側だけを見るのか両側を見るのかは、第8〜9回の検定で正面から扱う。

後の伏線

「珍しさ」を確率で測るこの発想は、第8〜9回の 仮説検定・p値 につながる。「珍しい＝偶然では説明しにくい」をどこで線引きするかが、後の大問題になる。

2. 二項分布 ―― 独立な試行を n 回

確率変数：偶然で値が決まる量（ここでは「10回中の表の回数」）。

確率変数には2種類ある ―― 離散型と連続型

確率変数は、とりうる値をどう刻めるかで2つに分かれる。

  • 離散型：とりうる値を1つずつ数え上げられる。サイコロの目は \(1,2,\dots,6\) で、\(1.1\) や \(5.4\) という目はない。「知っていますか？ Yes / No」も、10回中の表の回数 \(0,1,\dots,10\) も離散型である。
  • 連続型：測定の目盛りを、いくらでも細かくできる。身長を「120〜121 cm が2人、121〜122 cm が3人」と数えていたのを、「120〜120.5 cm が1人、120.5〜121 cm が1人……」と刻み直せる。さらに 120.25 cm でも刻める。体重・気温・時間も同じである。

見分け方は「隣り合う2つの値のあいだに、もう1つ値を入れられるか」。入れられないのが離散型、いくらでも入れられるのが連続型だ。

離散型と連続型のちがい左：サイコロの目は1から6の点だけで、あいだに値が入らない。右：身長は目盛りをいくらでも細かく刻める。離散型 ―― 値は点。あいだに入れられない123456×××××サイコロに 1.1 や 5.4 の目はない「知っていますか？ Yes / No」も同じ連続型 ―― 目盛りをいくらでも細かくできる幅 1 cm幅 0.5 cm幅 0.1 cm120121122 cm刻み直しても、まだあいだに値が入る120.25 cm でも、120.001 cm でも刻める見分け方：隣り合う2つの値のあいだに、もう1つ値を入れられるか

今日の二項分布・ポアソン分布は離散型。次回の正規分布は連続型である。この違いは見た目だけの話ではなく、「確率がどこにあるか」が変わる（→第5回）。

数えられる量でも、連続型の道具を使うことがある

金額（1円刻み）、年齢（1歳刻み）、人口（1人刻み）は、厳密には離散型である。それでも刻みがデータの散らばりに比べて細かいときは、連続型の道具（正規分布、面積としての確率）で近似するのがふつうだ。どちらに分類されるかと、どちらの道具を使うかは、別の話である。

逆向きもある。離散型の二項分布は、\(n\) を大きくすると連続型の正規分布で近似できる（\(p=0.5\) で \(n\) を増やしていくと釣鐘型に重なる。→第5〜6回）。離散と連続は、互いに近づく関係にある。

成功確率 \(p\) の試行を 独立に \(n\) 回くりかえし、成功回数を数えると 二項分布 \(\mathrm{Binom}(n,p)\) になる。

\[P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}, \qquad E[X]=np,\quad V[X]=np(1-p)\]

この形になるために、実は4つの条件を置いている。

  1. 試行回数 \(n\) が決まっている
  2. 各試行の結果を成功・失敗の2値で表せる
  3. 成功確率 \(p\) が毎回同じ
  4. 各試行が独立

今日とくに注目するのは4の独立だが、3もいっしょに使っている。 独立でも各回の \(p\) が違えば、ふつうの二項分布にはならない。たとえば独立な2回で成功確率が \(0.1\) と \(0.9\) なら、2回とも成功する確率は \(0.1\times0.9=0.09\)。平均をとって「\(p=0.5\) の二項分布」と置き換えると \(0.25\) になり、合わない。

Colabで1万セットのコイン投げをシミュレーションすると、ヒストグラムが理論の二項分布にぴったり重なり、平均 \(\approx 5\)・分散 \(\approx 2.5\) が再現される。

導出①：二項分布の式は「1つの並びの確率」×「並び方の数」

まず、特定の並び1つの確率を考える。たとえば \(n=5\) で「表・表・裏・表・裏」（成功 \(k=3\) 回）という並び。

各回が独立なら、同時に起きる確率は単純なかけ算でよい。

\[p \times p \times (1-p) \times p \times (1-p) \;=\; p^{3}(1-p)^{2}\]

かけ算にできるのは独立だからである。 そして、かける中身がどの回も \(p\) と \(1-p\) で書けるのは、成功確率が毎回同じだからだ。1回目の結果が2回目の確率を変えるなら、この式は最初の一歩で崩れる（→第4節）。独立性は、今日とくに注目する前提である。

並びが変わっても、成功が \(k\) 回・失敗が \(n-k\) 回であれば、かける中身の順番が入れ替わるだけで積は同じ \(p^{k}(1-p)^{n-k}\) になる。

あとはそのような並びが何通りあるかを数えればよい。\(n\) 回のうちどの \(k\) 回が成功かを選ぶ選び方なので \(\binom{n}{k}\) 通り。同じ確率の排反な並びが \(\binom{n}{k}\) 個あるので、足し合わせて

\[P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}\]

数値で確かめる：\(n=10,\ p=0.5\) のとき、この式で \(k=7,8,9,10\) を足すと \(P(X\ge 7)=0.1719\)。第1節の「約17%」はこの計算である。

使った数学：独立な事象の確率のかけ算、組合せ \(\binom{n}{k}\)（数A）。

導出②：\(E[X]=np\) と \(V[X]=np(1-p)\) ―― 期待値と分散で、独立の要り方が違う

\(i\) 回目が成功なら \(1\)、失敗なら \(0\) をとる確率変数 \(X_i\) を考えると、成功回数はただの和になる。

\[X = X_1+X_2+\dots+X_n\]

まず1回分を計算する。\(X_i\) は \(1\) を確率 \(p\)、\(0\) を確率 \(1-p\) でとるので、

\[E[X_i] = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p\]

\(X_i^2\) は \(X_i\) と同じ値をとる（\(1^2=1\)、\(0^2=0\)）ので \(E[X_i^2]=p\)。よって

\[V[X_i] = E[X_i^2]-\left(E[X_i]\right)^2 = p - p^2 = p(1-p)\]

ここから \(n\) 倍にする。期待値は和について常に線形なので、独立でなくても足してよい。

\[E[X] = \sum_{i=1}^{n} E[X_i] = np\]

分散はそうはいかない。一般には、\(X_i\) どうしの共分散の項が付いてくる。

\[V[X] = \sum_{i=1}^{n} V[X_i] \;+\; 2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j) \;=\; np(1-p) + 2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\]

各試行が独立なら共分散はすべて \(0\) になるので、第2項が消えて

\[V[X] = \sum_{i=1}^{n} V[X_i] = np(1-p)\]

（独立は、共分散を \(0\) にするための十分条件である。独立でなくても共分散の合計が \(0\) なら、分散はそのまま足せる。）

期待値は独立でなくても足せる。分散では共分散の影響を考える

この違いが今日の要点である。第4節で「平均は同じなのに分散だけが約5.4倍に膨らむ」のを見るが、それは偶然ではない。期待値の式に共分散は現れず、分散の式にだけ現れるからだ。

数値で確かめる：\(n=10,\ p=0.5\) なら \(E[X]=5\)、\(V[X]=2.5\)。二項分布の確率を定義どおりに足して計算しても \(5\) と \(2.5\) で一致する。

使った数学：期待値の線形性、\(V[X]=E[X^2]-(E[X])^2\)、独立なときの分散の加法性。

大前提は『成功確率が一定・各試行が独立』

二項分布は、成功確率 \(p\) が毎回同じで、各試行が独立であることを前提にしている。1回目の結果が2回目に影響しないからこそ、確率を単純にかけ算できる。この前提が崩れると、成功回数が二項分布になる保証はなくなる（→第4節）。

3. ポアソン分布 ―― 一定の範囲で起こる件数

「1日の迷惑電話の件数」「1ページの誤植の数」「1時間の来客数」―― 一定の時間や空間の範囲で起こる件数を表すモデルが ポアソン分布 \(\mathrm{Poisson}(\lambda)\) である。

\[P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},\qquad E[X]=V[X]=\lambda\]

ここで考えているのは、次の3つが置ける場合である。

  1. 単位時間（単位面積）あたりの発生率が一定
  2. 重ならない区間の件数が互いに独立
  3. ごく短い区間に複数件がまとまって起こることが、ほとんどない

この3つから、一定時間内の件数がポアソン分布になるモデルが得られる。なお「稀な事象」というのは、観測期間全体の件数が少ないという意味ではなく、一つ一つの小さな機会での発生確率が小さいという意味である。

例の名前だけで分布は決まらない

同じ「来客数」でも、団体客がまとめて来店するなら3が崩れ、昼と深夜で来店ペースが違うなら1が崩れる。そういう場面では、このモデルは合わない。具体例の名前ではなく、上の条件が置けそうかどうかで判断する。

\(\lambda\) は「平均して何件起きるか」。二項分布で \(n\) が大きく \(p\) が小さいとき（\(\lambda=np\) 一定）、二項分布はポアソン分布に近づく。Colabで \(n=10,50,500\) と大きくすると、二項分布がポアソン分布に重なっていくのが見える。

導出③：なぜ二項分布はポアソン分布に近づくのか

仮定をはっきりさせる。\(\lambda=np\) を一定に保ったまま、\(n\) を大きく・\(p\) を小さくしていく。機会の数は増えるが、1回あたりの確率がそれに反比例して小さくなる、という状況である。

二項分布の式に \(p=\lambda/n\) を代入して、部分に分ける。

\[\binom{n}{k}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \;=\; \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}}_{(\mathrm{i})}\cdot\frac{\lambda^{k}}{k!}\cdot\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}}_{(\mathrm{ii})}\cdot\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{(\mathrm{iii})}\]

\(k\) を固定して \(n\) を大きくすると、(i) は \(\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\) という \(k\) 個の分数の積なので \(1\) に近づく。(ii) は \(e^{-\lambda}\) に近づく。(iii) も \(1\) に近づく。残るのは

\[P(X=k) \;\longrightarrow\; \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\]

これがポアソン分布である。結論はあくまで近似であり、\(n\) が小さいうちは一致しない。

数値で確かめる：\(\lambda=5\) に固定して \(n\) を変え、二項分布とポアソン分布の確率の差の最大値を見る。

\(n\) \(p=\lambda/n\) 確率の差の最大
10 0.5 0.0706
50 0.1 0.0095
500 0.01 0.0009
5000 0.001 0.0001

\(n=10\) ではまるで別物だが、\(\lambda=5\) のこの例では、\(n=500\) まで来ると確率の差は最大でも約 \(0.0009\) になる。「\(n\) が大きく \(p\) が小さい」がどの程度を指すのかが、数字で見える。

なお「差が \(0.001\) 未満」は「小数第3位まで同じ数字が並ぶ」ことではない。\(n=500\)・\(k=5\) の確率は、二項が \(0.17635\)、ポアソンが \(0.17547\) で、小数第3位に丸めると \(0.176\) と \(0.175\) に分かれる。

極限の厳密な扱いは範囲外

\(\left(1-\lambda/n\right)^{n} \to e^{-\lambda}\) の証明や、極限と和の交換の正当化は、この授業で扱う統計数理の範囲外である。ここでは「何を仮定すると何が出るか」の筋道を押さえておけばよい。

使った数学：指数関数の極限 \(\left(1+x/n\right)^{n}\to e^{x}\)（数Ⅲ）、式の分解。

二項分布 ポアソン分布
使う場面 試行回数 \(n\) が決まっている（10回投げる） 機会が膨大で件数だけ分かる（1日の件数）
パラメータ \(n,\ p\) \(\lambda\)（平均件数）
前提 \(n\) が固定・成功確率 \(p\) が一定・各試行が独立 発生率が一定・重ならない区間の件数が独立・短い区間に複数件が集中しない

分布どうしの関係

二項分布とポアソン分布だけが孤立しているわけではない。条件を変えると、分布どうしは互いに近づく。

分布どうしの関係超幾何分布はNが大きいと二項分布に、二項分布はnが大きくpが小さいとポアソン分布に、ポアソン分布はλが大きいと正規分布に近づく。二項分布も標準化してnを大きくすると正規分布に近づく。分布どうしは、条件を変えると互いに近づく超幾何分布非復元抽出二項分布n回中の成功回数ポアソン分布一定範囲の件数正規分布連続型（第5回）N を大きくn 大・p 小（λ=np 一定）M/N が小さくn が大きい標準化して n を大きく（ラプラスの定理）λ を大きく「近づく」は近似であって、一致ではない。どれくらい近いかは n や λ の大きさで決まる（→ 導出③の表）。

超幾何分布は、限られた母集団から戻さずに取り出すときの成功回数の分布である（箱から赤玉を戻さずに n 個取る）。母集団 \( N \) が大きくなると、1個取り出しても残りの構成がほとんど変わらないので、毎回同じ \( p \) で独立に引くのと区別がつかなくなる ―― つまり二項分布に近づく。

第5回で扱う正規分布には、2つの道で合流する。二項分布を標準化して \( n \) を大きくする道（ラプラスの定理）と、ポアソン分布の \( \lambda \) を大きくする道である。

なぜこの地図が要るのか

現実のデータに「この分布を当てはめてよいか」を考えるとき、どの条件が崩れると、どの分布に移るのかが分かっていると判断しやすい。 たとえば「非復元抽出なので厳密には超幾何分布だが、母集団が十分大きいので二項分布でよい」という判断は、この図の左の矢印そのものである。

4. もし試行が「独立でなかったら」？

二項分布もポアソン分布も、独立を前提にしていた。では独立が崩れたら？

10人が順番に答えるクイズを考える。ルールはこうだ。

  • 1人目は、公正なコインで答えを決める（正解する確率 \(0.5\)）
  • 2人目以降は、8割の確率で直前の人と同じ答えにし、残り2割では自分でコインを投げる

一人ひとりはコインで決めるつもりでも、互いに影響し合っている。 （自分で投げたときにも偶然同じ答えになるので、直前の人と答えが一致する確率は \(0.8+0.2\times0.5=0.9\)。8割のほうは「真似ることを選ぶ確率」である。）

このルールでは、どの人も正解する確率は \(0.5\) のままであることに注意しよう。変わるのは、正解・不正解がそろいやすくなることだけだ。Colabで「10人中の正解者数」の分布を見ると：

平均 分散 極端な結果（全員一致）の割合
独立に判断 約5.0 約2.5 0.2%
8割で真似る 約5.0 約13.5 38%

平均は5人のまま。だが分散は約5.4倍（SDなら約2.3倍）に膨らみ、0人や10人といった極端な結果が激増する。

  • 平均が動かないのは、一人ひとりの正解確率が \(0.5\) に保たれているから（期待値に共分散は効かない）
  • 分散が膨らむのは、真似によって答えの間に正の相関が生まれ、共分散の項が足されるから

「独立でない」＝「分散が増える」ではない

増えるのは、正の相関が生じたときである。たとえば10人を5組に分け、各組の2人目は必ず1人目と逆の答えを出すとしよう。一人ひとりの正解確率は \(0.5\) のままだが、どの組でもちょうど1人が正解するので、正解者数はいつも5人・分散は \(0\)。独立ではないのに、独立なとき（\(2.5\)）より小さい。 独立が崩れたときに何が起きるかは、相関の向きで決まる。

今期の背骨

独立が崩れると、二項分布という前提が成り立たない。一人ひとりの正解確率は \(0.5\) のままなのに、正解者数の分布は二項分布では予測できなくなる。 ただし今回のモデルでは、全員不正解が増えるのと同じだけ全員正解も増える。だから「集団としての正解率が下がった」ことまでは、今日の実験からは言えない。言えるのは 結果が極端に振れやすくなる ことである。 この依存が、情報の集約や多数決の信頼性にどう関わるか ―― そこを第12回 情報カスケード・第13回 コンドルセの陪審定理 で扱う。今日はその種を見た。

今日のまとめ

確率変数には離散型（数え上げられる）と連続型（目盛りをいくらでも細かくできる）があり、今日の2つはどちらも離散型である。

分布 何の分布か 式 前提
二項分布 独立な試行 \(n\) 回中の成功回数 \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) \(n\) 固定・\(p\) 一定・各試行が独立
ポアソン分布 一定の範囲で起こる件数 \(\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\) 発生率一定・区間ごとに独立・集中発生なし

今日の課題（Moodle提出）

配点：100点（選択40点 ＋ 記述60点）／ 提出先：Moodle ／ 提出期限：次回授業の開始時刻まで

第4回のColabノート 04_discrete.ipynb を上から実行し、結果を見たうえで答えること。

パートA：選択問題（各10点 ×4＝40点）

A1. 公正なコイン（p=0.5）を10回投げて、表が 7回以上 出る確率に 最も近い のは？

  • (ア) 約 2%　(イ) 約 17%　(ウ) 約 50%

A2. 二項分布 \(\mathrm{Binom}(n,p)\) の期待値（平均）と分散の組として正しいのは？

  • (ア) 平均 \(np\)、分散 \(np(1-p)\)
  • (イ) 平均 \(p\)、分散 \(np\)
  • (ウ) 平均 \(np\)、分散 \(\lambda\)

A3. 次のうち、ポアソン分布 でモデル化するのが最も自然なのはどれか？

  • (ア) サイコロを20回振って6が出る回数
  • (イ) ある書店に1時間あたりに来店する客の人数
  • (ウ) 10人の学生のうち、特定の1人が選ばれるかどうか

第3節の3条件（発生率が一定・重ならない区間の件数が独立・短い区間に複数件が集中しない）が置けそうなものを選ぶこと。

A4. Colabで「10人が8割の確率で前の人の答えを真似る（独立でない）」場合、独立なときと比べて起きたことは？

  • (ア) 平均も分散もほとんど変わらない
  • (イ) 平均はほぼ同じだが、分散が大きく増え、全員一致のような極端な結果が増えた
  • (ウ) 平均が大きく下がった

パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）

B1.（30点） 二項分布とポアソン分布について、①それぞれどんな場面で使うか ②それぞれどんな前提を置いているか を、具体例を1つずつ挙げながら150〜250字程度で説明しなさい。②では、両者に共通する「独立」に加えて、二項分布の「試行回数が決まっていて成功確率が毎回同じ」・ポアソン分布の「発生率が一定」にも触れること。

B2.（30点） Colabの最後で、「各人が前の人を真似る（独立でない）」と、10人中の正解者数の 分散が大きく膨らみ、全員一致のような極端な結果が増える ことを見た。このモデルでは、一人ひとりが正解する確率は0.5に保たれている（真似ても、各人の正解率は変わらない）。これを踏まえて次の2点を書きなさい。

  1. それでも極端な結果が増えるのはなぜか。平均が5人のまま変わらない理由と、分散が大きくなる理由を、分けて説明する
  2. もし現実に「みんなが独立に判断していると思い込んで」二項分布で予測したら、実際の集団（真似合う集団）に対してどんな読み違いをするか

ヒント：B2は第12〜13回（情報カスケード・コンドルセの陪審定理）への助走である。「みんなが同じ方向に流れる」とき、予測は何を外すのか、を意識して書くとよい。

文字数の目安：B1・B2あわせて 300〜500字。コピペ・引き写しは評価しない。自分の言葉で書くこと。

字数は目安です。多少の過不足で減点はしません。見るのは、設問が挙げた要素（上の箇条書き）が書けているかどうかです。ただし要素が抜けていれば、その分は引きます。

次回予告

第5回「連続確率分布：正規分布の数理」。なぜ世界は正規分布だらけなのか ―― 答えはまた 独立 にある（多数の独立な要因の和）。そして「すべてが正規」ではないことも見る。