第07回　区間推定の理論¶

11/17（火）Ⅲ講 13:00〜14:40・B402教室

信頼区間はどう作られ、独立が崩れるとどう嘘になるか

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この回のゴール¶

信頼区間の作り方を理解する：\(\bar{x}\pm t_{0.975,n-1}\,s/\sqrt{n}\)
「95%」の本当の意味＝カバレッジ（手続きの当たり率）を説明できる（Ⅰの復習）
区間の幅を決める3要素（標準誤差・信頼度・\(n\)）を知る
独立が崩れると95%信頼区間が95%を守れないことを確かめる

到達目標との対応：G2（統計的誤用の批判） と G4（独立性）。

1. 信頼区間の作り方¶

母平均 \(\mu\) を標本から推定したい。点推定は標本平均 \(\bar{x}\) ひとつだが、それだけでは「どれくらい確かか」が分からない。そこで区間で示す。

\[\bar{x} \;\pm\; t_{0.975,\,n-1}\times \frac{s}{\sqrt{n}}\]

\(s/\sqrt{n}\) … 第6回の 標準誤差（標本平均のばらつき）
\(t_{0.975,\,n-1}\) … 母分散が未知なので、正規分布の代わりに t分布 を使う（\(n\) が小さいほど区間が広がる）

2. 「95%」の本当の意味 ―― カバレッジ¶

95%信頼区間の正しい意味は「真の値がこの区間に95%の確率で入る」ではない。正しくは：

同じ手続きで標本を取り直して区間を作る、を何度も繰り返すと、そのうち約95%の区間が真の値を含む。

これを カバレッジ（被覆率） という。Colabで100本の区間を描くと、約95本が真の母平均を含み、約5本が外す。「95%」は真値についての確率ではなく、手続きの当たり率だ。

区間の幅を決めるのは3つ：標準誤差 \(s/\sqrt{n}\)、信頼度（95%か99%か）、標本サイズ \(n\)。\(n\) を増やすと幅は狭まる ―― ただし、標本が独立なら。

3. 独立が崩れると ―― 「95%」が嘘になる¶

第6回で見たとおり、標本が 相関する（みんなが空気を読んで似た回答をする）と、本当のばらつきは \(s/\sqrt{n}\) より大きい。なのに区間は \(s/\sqrt{n}\) で作る ―― つまり 狭すぎる区間 になり、真値をしょっちゅう外す。

Colabで、独立な標本と相関した標本（\(\rho=0.3\)）でカバレッジを1万回ずつ測ると：

標本	「95%信頼区間」の実際のカバレッジ
独立（\(\rho=0\)）	約 95% ← 正しく機能
相関（\(\rho=0.3\)＝空気を読む）	約 42% ← 半分以下！

独立なら約95%。だが空気を読むと、『95%信頼区間』は4割程度しか真値を含まない。 名前は「95%」でも中身はまるで違う。狭い区間を見て「精密に推定できた」と喜ぶのは、独立性を確認していなければ早とちりだ。

今期の背骨

区間推定も検定も、すべて「標本は独立」という土台の上に建っている。空気を読む集団から取ったデータでは、その土台が抜けている。狭い区間・小さいp値は、精密さの証ではなく、独立性の崩壊を見落とした結果かもしれない。 これを疑えることが、統計的誤用を見抜く力だ。

今日のまとめ¶

ポイント	中身
信頼区間	\(\bar{x}\pm t_{0.975,n-1}\,s/\sqrt{n}\)。母分散未知なので t 分布
95%の意味	真値の確率ではなく、手続きを繰り返したときのカバレッジ（当たり率）
幅を決めるもの	標準誤差・信頼度・\(n\)（独立が前提）
独立が崩れると	区間が狭すぎてカバレッジが95%を大きく割る＝「95%」が嘘になる

今日の課題（Moodle提出）¶

配点：100点（自動採点40点＋記述60点）／提出先：Moodle

第7回のColabノート 07_interval.ipynb を上から実行し、結果を見たうえで答えること。

パートA：選択問題（自動採点・各10点 ×4＝40点）¶

A1. 母分散が未知のとき、母平均の95%信頼区間を作るのに使う分布は？ - (ア) 正規分布（z） - (イ) t分布 - (ウ) 二項分布

A2. 「95%信頼区間」の正しい意味はどれか？ - (ア) 真の値が、この区間の中に95%の確率で入っている - (イ) 同じ手続きで区間を作り直すことを繰り返すと、約95%の区間が真の値を含む - (ウ) 標本の95%がこの区間に入っている

A3. 信頼区間の幅を狭くする（推定を精密にする）要因として正しいのは？ - (ア) 標本サイズ \(n\) を増やす（ただし標本が独立な場合） - (イ) 信頼度を95%から99%に上げる - (ウ) 標準誤差を大きくする

A4. Colabで、相関した標本（ρ=0.3、空気を読む）に対して「95%信頼区間」のカバレッジを測ると、どうなったか？ - (ア) 約95%を保った - (イ) 約42%まで下がった（区間が狭すぎて、半分以下しか真値を含まない） - (ウ) 約99%に上がった

パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）¶

B1.（30点） 「95%信頼区間」の意味を、よくある誤解（真値が95%の確率で入る）と対比しながら、正しく4〜6文で説明しなさい。「カバレッジ（手続きの当たり率）」という考え方を必ず使うこと。

B2.（30点） Colabで、標本が独立でない（空気を読んで相関する）と、「95%信頼区間」が実際には4割程度しか真値を含まないことを見た。これを踏まえて次の2点を書きなさい。

なぜ相関した標本だと区間が「狭すぎる」ものになり、カバレッジが下がるのか（第6回の標準誤差と結びつけて）
「とても狭い信頼区間が出た＝精密に推定できた」と早とちりするのが危険なのはなぜか

ヒント：B2は第6回（相関するとSEが本当のばらつきを過小評価）の直接の帰結。狭い区間・小さいp値を見たら、まず「独立か？」を疑う習慣につながる。

文字数の目安：B1・B2あわせて 300〜500字。コピペ・引き写しは評価しない。自分の言葉で書くこと。

次回予告

第8回「検定の多重性問題」。「20種類のゼリービーンズとニキビの関係を検定したら、緑だけ有意になった」 ―― たくさん試すと偶然の有意が出る。p-hacking の罠へ。

第07回 区間推定の理論¶