第03回　確率論の基礎(2)：ベイズの定理の深掘り¶

10/13（火）Ⅲ講 13:00〜14:40・B402教室

「データで信念を更新する」。直感を裏切る 基準率の誤謬

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この回のゴール¶

ベイズの定理を理解する：\(P(H\mid D)=\dfrac{P(D\mid H)\,P(H)}{P(D)}\)
事前確率・尤度・事後確率の役割を説明できる
基準率の誤謬 と 陽性的中率 を理解し、「検査の精度」と「的中率」を混同しない
逐次更新（今日の事後＝明日の事前）が学習の数理であることを知る

到達目標との対応：G1（条件付き確率とベイズの定理を理解し、情報の更新プロセスを説明できる） の本丸。

1. 直感クイズ ―― 検査が陽性、あなたは病気か？¶

性能のとても良い検査がある。

感度 \(P(\text{陽性}\mid\text{病気})\)：99%
特異度 \(P(\text{陰性}\mid\text{健康})\)：99%

この病気は 100人に1人（有病率1%） がかかる。あなたは検査で陽性になった。

問い：あなたが本当に病気である確率は？

直感は「99%の精度だから99%くらい」と答える。だが正解は 約50% ―― コイン投げと変わらない。

自然頻度で考えるとわかる（100万人を検査）¶

	人数	うち陽性
病気の人（1%）	10,000	9,900（真陽性）
健康な人（99%）	990,000	9,900（偽陽性）

陽性になった 19,800 人のうち、本当に病気なのは 9,900 人。だから

\[P(\text{病気}\mid\text{陽性}) = \frac{9{,}900}{19{,}800} = 50\%\]

病気の人はそもそも少ないので、「健康なのに誤って陽性」の人が「本当に病気で陽性」と同じだけ出てしまう。検査の精度（99%）と陽性的中率（50%）はまったく別の数字だ。

今日の最重要ポイント

直感は \(P(\text{陽性}\mid\text{病気})=99\%\) を \(P(\text{病気}\mid\text{陽性})=99\%\) と取り違える。これは第2回でやった 条件付き確率の「向き」の混同そのもの。\(P(A\mid B)\) と \(P(B\mid A)\) は別物だった。

2. ベイズの定理¶

いまの計算を式にすると、ベイズの定理 になる。

\[\underbrace{P(H\mid D)}_{\text{事後確率}} = \frac{\overbrace{P(D\mid H)}^{\text{尤度}}\;\overbrace{P(H)}^{\text{事前確率}}}{P(D)}\]

要素	意味	検査の例
事前確率 \(P(H)\)	データを見る前の信念	有病率 1%
尤度 \(P(D\mid H)\)	その仮説のもとでデータが出る確率	感度 99%
事後確率 \(P(H\mid D)\)	データを見た後に更新した信念	陽性的中率 50%

ベイズの定理＝データで信念を更新する計算。 事前 1% が、陽性というデータで 50% に更新された。

3. 基準率を動かすと、答えは激変する¶

同じ性能（感度99%・特異度99%）の検査でも、病気の珍しさ（基準率） が変われば陽性的中率はまるで違う。

有病率（基準率）	陽性的中率 \(P(\text{病気}\mid\text{陽性})\)
0.01%	1.0%
0.1%	9.0%
1%	50.0%
10%	91.7%
50%	99.0%

検査の性能は何も変わっていないのに、珍しい病気ほど陽性的中率は低い。直感がこれを外すのは、基準率（その事象がもともとどれくらい起こりやすいか）を無視するから ―― これを 基準率の誤謬（base rate fallacy） と呼ぶ。

応用が効く

迷惑メール判定、防犯カメラの顔認証、まれな不正の検知 ―― すべて同じ罠がある。「精度99%のAIが警告した」と聞いても、対象がもともと稀なら、警告の大半は誤検知かもしれない。

4. 逐次更新 ―― 今日の事後は、明日の事前¶

ベイズの真価は、データが来るたびに信念を更新できること。今日の事後確率を明日の事前確率として使い、新しいデータでまた更新する。

例：あるコインの「表が出る確率 \(p\)」を当てたい。最初は何も分からない（一様な事前）。投げるたびに信念がどう締まるかをColabで見る。

数学的には、事前を \(\mathrm{Beta}(a,b)\) にすると、表 \(k\) 回・裏 \(n-k\) 回の観測で事後は \(\mathrm{Beta}(a+k,\;b+n-k)\) になる（共役事前）。

03_bayes.ipynb では、真の値 \(p=0.7\) のコインを投げ続けると、事後分布が回数とともに 0.7 の周りに鋭く締まっていく様子が見える。これが学習の数理的な姿だ。事前の思い込みがあっても、データを積めば信念は正しい方へ更新される。

第12〜13回では逆に、人々が互いを真似て 同じ情報ばかり を見ると、集団の信念が間違った方向に固まる（情報カスケード）。ベイズ更新が健全に働くにも、独立で多様な情報が要る。ここでも独立性が効いてくる。

今日のまとめ¶

用語	意味
ベイズの定理	\(P(H\mid D)=\dfrac{P(D\mid H)\,P(H)}{P(D)}\)。データで信念を更新する
事前 / 尤度 / 事後	見る前の信念 / データの出やすさ / 更新後の信念
基準率の誤謬	事象のもともとの珍しさ（基準率）を無視する誤り
陽性的中率	\(P(\text{病気}\mid\text{陽性})\)。検査の精度とは別物

今日の課題（Moodle提出）¶

配点：100点（自動採点40点＋記述60点）／提出先：Moodle

第3回のColabノート 03_bayes.ipynb を上から実行し、結果を見たうえで答えること。

パートA：選択問題（自動採点・各10点 ×4＝40点）¶

A1. 感度99%・特異度99%の検査で、有病率が 1%（100人に1人） の病気のとき、陽性と出た人が本当に病気である確率（陽性的中率）に 最も近い のは？ - (ア) 約 1%　(イ) 約 50%　(ウ) 約 99%

A2. A1で陽性的中率が検査の精度（99%）より大きく下がる 主な理由 は？ - (ア) 検査の機械の誤差が大きいから - (イ) 病気の人がもともと少ない（基準率が低い）ため、健康な人からの偽陽性が多数を占めるから - (ウ) 陽性的中率は常に50%になると決まっているから

A3. ベイズの定理 \(P(H\mid D)=\dfrac{P(D\mid H)P(H)}{P(D)}\) で、事前確率 にあたるのはどれか？ - (ア) \(P(H)\)（データを見る前の信念） - (イ) \(P(D\mid H)\)（尤度） - (ウ) \(P(H\mid D)\)（事後確率）

A4. 検査の例で、直感が「陽性なら99%病気だ」と誤るのは、2つの確率を混同しているからである。正しく混同されているペアは？ - (ア) \(P(\text{陽性}\mid\text{病気})\) と \(P(\text{病気}\mid\text{陽性})\) を取り違えている - (イ) 事前確率と尤度が等しいと思い込んでいる - (ウ) 感度と特異度を取り違えている

パートB：記述問題（AIフィードバック対象・60点）¶

B1.（30点） 感度99%・特異度99%という高性能の検査でも、稀な病気では陽性的中率が約50%にしかならない。なぜそうなるのか を、4〜6文で説明しなさい。次の2点に必ず触れること。

「基準率（有病率）」という言葉を使い、なぜ偽陽性が無視できないほど出るのか
直感が外す原因を、第2回で学んだ「条件付き確率の向き」と結びつけて

B2.（30点） ベイズの定理は「データで信念を更新する」道具だった。あなた自身の経験で、最初の思い込み（事前）が、新しい情報（データ）によって更新された例を1つ挙げ、次の2点を書きなさい。

最初どう思っていたか（事前）、どんな情報を得て（データ）、どう考えが変わったか（事後）
もし「基準率（もともとの起こりやすさ）」を考えていれば、最初の思い込みは違っていたか

文字数の目安：B1・B2あわせて 300〜500字。コピペ・引き写しは評価しない。自分の言葉で書くこと。

次回予告

第4回「離散確率分布：二項分布・ポアソン分布」。「コインを10回投げて7回表。イカサマ？」 ―― 独立な試行を \(n\) 回くりかえすと、結果はどんな分布になるか。第2回で定義した「独立」が、分布の前提として効いてくる。

第03回 確率論の基礎(2)：ベイズの定理の深掘り¶