第10回　全数調査と標本調査¶

12/8（火）Ⅴ講 16:40〜18:20・A301教室

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この回の考え方は、統計の考え方ガイドの「標本から全体を知る」でも解説しています。霊長類のデータを動かしながら確かめられます。

この回の問い¶

なぜ2,000人に聞くだけで、1億人の意見が分かることになるのか。

到達目標¶

母集団と標本の関係を説明できる
全数調査と標本調査の長所・短所を比較できる
無作為抽出の4種類と有意抽出の違いを理解する
標本誤差と選択バイアスの違いを説明できる
実際の調査の標本設計を読み、その妥当性を評価できる
発展：比率の標本誤差 \(\sqrt{p(1-p)/n}\) と、必要な標本数が母集団の大きさでほぼ決まらないことを、自分で導ける

要点¶

母集団と標本¶

母集団（Population） は、調査で明らかにしたい対象全体の集合である。「日本の有権者全体の意識」を知りたいなら母集団は日本の有権者（約1億人）、「北海道の高校生の学習時間」なら北海道の高校生全員となる。

母集団は調査の目的によって定義される。定義が曖昧だと、結果の解釈も曖昧になる。

標本（Sample） は、母集団から実際に取り出して調査する一部の集合である。

母集団（Population）
      ↓ 抽出（sampling）
  標本（Sample）
      ↓ 調査・分析
  標本統計量を算出
      ↓ 推測（inference）
  母集団のパラメータを推定

一部で全体が分かるのは、適切な方法で選べば標本の特性が母集団を代表（represent）するからである。逆に言えば、選び方が適切でなければ、いくら数を集めても代表しない。

全数調査¶

母集団の全員を調べる方法。国勢調査がその代表である（→ 第5回）。精度は高いが、費用・時間・人員の負担が極めて大きい。だから5年に1回しかできない。

無作為抽出の4つの型¶

方法	やり方	長所	短所
①単純無作為抽出	全員に等しい確率を与え、乱数で選ぶ	偏りが最も少ない理想形	母集団全員のリスト（サンプリング台帳）が要る
②系統抽出	リストを並べ、一定間隔おきに選ぶ	手続きが簡単・低コスト	リストに周期的パターンがあると偏る
③層化抽出	母集団を層に分け、各層から抽出	各層を確実にカバー・精度が上がる	層の区分けと各層の情報が必要
④クラスター抽出	集落単位で選び、その中を調べる	リストが不完全でも実施可能・低コスト	標本誤差が大きくなりやすい

多段抽出法は、クラスター抽出を2段階以上繰り返す方法である（都道府県を抽出 → 市区町村を抽出 → 個人を抽出）。実際の大規模調査はほぼこの形をとる。

有意抽出¶

無作為抽出によらず、調査者の判断や便宜で選ぶ方法。代表性より典型性・接触可能性を優先するため、質的研究で多用される。

種類	概要
便宜的抽出	手近な人・集まりやすい人を選ぶ（例：授業の受講者）
スノーボールサンプリング	対象者に次の対象者を紹介してもらい、次々と広げる
割り当て法（クオータ）	性別・年齢等の割合を決め、それを満たすよう選ぶ
理論的サンプリング	理論の飽和を目指して選ぶ（グラウンデッド・セオリー等）

標本誤差 ―― 必要な数は母集団の大きさで決まらない¶

標本誤差は、標本の特性と母集団の特性の間に生じるランダムな誤差である。標本が大きいほど小さくなる（\(SE = \sigma / \sqrt{n}\)）が、全数調査でない限りゼロにはならない。

標本数	標本誤差の目安（比率・95%信頼水準）
n = 100	± 9.8%
n = 400	± 4.9%
n = 1,000	± 3.1%
n = 2,500	± 2.0%

必要な標本数は「母集団の大きさ」ではなく「必要な精度」で決まる。 テレビ視聴率（ビデオリサーチ社）が、約1,800万世帯ある関東地区をわずか2,700世帯で推計できるのはこのためである。

導出①：± 9.8% はどこから来るのか（比率の標本誤差）

「賛成」の割合を知りたいとする。一人の回答を、賛成なら 1、反対なら 0 の数値と見る。すると「賛成の割合」は、この 0 と 1 の平均にほかならない。標本比率 \(\hat{p}\) は、実は標本平均なのである。

まず一人分のばらつきを求める。賛成の確率を \(p\) とすると、

\[ E[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]

0 と 1 は二乗しても値が変わらない（\(0^2 = 0\)、\(1^2 = 1\)）。だから二乗の期待値も同じく \(p\) になる。したがって

\[ V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p) \]

あとは標本平均のばらつきの式 \(V[\bar{X}] = \sigma^2/n\) を使えばよい（統計学Ⅰ 第6回で導いている）。\(\sigma^2 = p(1-p)\) を入れて

\[ \mathrm{SE}(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]

ここで困ったことが起きる。誤差を計算するのに、知りたいはずの \(p\) が要る。 そこで「最悪でもこれ以下」という言い方をする。\(p(1-p)\) は \(p = 0.5\) のとき最大の 0.25 になるからである。

\(p\)	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
\(p(1-p)\)	0.09	0.21	0.25	0.21	0.09

最大値を使えば、\(p\) を知らないまま上限が言える。95% の幅は \(\pm 1.96 \times \mathrm{SE}\) だから

\[ \pm\, 1.96 \sqrt{\frac{0.25}{n}} \;=\; \pm\, \frac{0.98}{\sqrt{n}} \]

数値で確かめる：この式に入れると、n=100 で ±9.80%、n=400 で ±4.90%、n=1,000 で ±3.10%、n=2,500 で ±1.96%。上の表と一致する（表の「± 2.0%」は 1.96% を丸めた値）。

\(\sqrt{n}\) が分母にあるので、誤差を半分にするには標本を4倍にしなければならない。表で 100 → 400 のときに 9.8% が 4.9% になっているのがそれである。調査費用は人数にほぼ比例するから、精度を2倍にする費用は4倍になる。標本設計とは、この釣り合いを決める作業である。

使った数学：期待値と分散の定義、二乗の展開、標本平均のばらつきの式（統計学Ⅰ 第6回）。

導出②：なぜ必要な数は、母集団の大きさで決まらないのか

導出①で出た式をもう一度見てほしい。

\[ \mathrm{SE}(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]

母集団の大きさ \(N\) が、どこにも入っていない。 1億人だろうと500万人だろうと、式は \(n\) しか見ていない。これがこの節の見出しの正体である。

ただし厳密には、これは近似である。同じ人を二度選ばない取り方（非復元抽出）のとき、正しい式には有限母集団修正という係数がつく。

\[ \mathrm{SE}(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \]

そこで、この係数が \(N\) の大きさでどう動くかを見る。\(n = 1{,}000\) に固定して計算すると：

母集団 \(N\)	修正係数	誤差（\(p=0.5\)）
1万	0.9487	± 2.94%
10万	0.9950	± 3.08%
100万	0.9995	± 3.10%
500万（北海道の人口規模）	0.9999	± 3.10%
1億（有権者の規模）	1.0000	± 3.10%

100万を超えたあたりから、係数は 1 と区別がつかなくなる。北海道民500万人について調べるのも、日本人1億人について調べるのも、必要な標本数は同じということである。

直感には反する。1億人が相手なら1万人くらい要りそうに思える。だが母集団が大きいほど抽出率は下がる一方で、精度は落ちない。\(N = 1\) 億で \(n = 1{,}000\) なら抽出率は 0.001% にすぎないのに、誤差は500万人のときと変わらない。よくかき混ぜた鍋の味見と同じで、鍋が大きくても、味見の量を増やす必要はない。

「よくかき混ぜてあれば」が効いている

この式が成り立つのは無作為抽出のときだけである。選ばれ方に偏りがあると、\(n\) をいくら増やしてもこの式は当てはまらない。次の節の Literary Digest は230万人を集めながら外した。\(n\) が大きいことは、偏りを一切埋め合わせない。この導出が保証しているのは「数が足りていること」だけで、「選び方が正しいこと」は何も保証していない。

数値で確かめる：上の表の修正係数と誤差は、すべて \(\sqrt{(N-n)/(N-1)}\) に直接入れて計算した値である。

使った数学：平方根の大小、割り算の極限（\(N\) が大きいとき \((N-n)/(N-1) \to 1\)）。

導出③：「± 3.1%」は、何についての 95% なのか

支持率の報道でよく見る「誤差 ±3ポイント」には、読み方の落とし穴がある。

「支持率 42%、誤差 ±3.1%」と出たとき、これは「真の支持率が 38.9% から 45.1% の間にある確率が 95%」という意味ではない。 真の支持率は、いま現に一つの値に決まっている。決まっている値が決まっている区間に入るかどうかは、入っているか外れているかのどちらかでしかない。

ランダムなのは区間のほうである。調査をやり直せば、選ばれる人が変わり、出てくる区間も動く。だから正しい読み方はこうなる。

この手続きで区間を作ることを何度も繰り返すと、作った区間の約95%が真の値を含む。

95% とは、手続きの当たり率のことである。いま手元にある1本が当たっているか外しているかは、分からない。

この区別は統計学Ⅰ 第7回で、式の上から導いている。不等式を真の値について解くと、動いているのは区間の両端だけで、真の値のほうは動いていないことが、式の形としてそのまま見える。

調査報告を読むときは、「95%」が区間の作り方についての性質であって、目の前の数字についての性質ではないことを押さえておくとよい。

使った数学：確率が何に対して定義されているかの区別（統計学Ⅰ 第7回導出③）。

選択バイアス ―― 大きさより、選ばれ方¶

選択バイアスは、標本の選ばれ方に系統的な偏りが生じることをいう。インターネット調査では、ネットを使わない層（高齢者・低所得層など）が除外され、回答意欲の高い人が過剰に集まる。

Literary Digest の失敗（1936年米大統領選）

約230万人という桁外れの規模で調査したにもかかわらず、予測は大外れした（実際はルーズベルトが圧勝）。原因は抽出方法にある ―― 電話帳と自動車登録者から選んだため、当時としては豊かな層に偏った。 標本の大きさではなく、標本の選ばれ方（代表性）が結果を決める。

実例 ―― 内閣府「社会意識に関する世論調査」¶

項目	内容
調査対象	全国18歳以上の日本国籍を持つ者
標本数	3,000人（回収目標：約1,800人）
抽出方法	層化2段抽出法（地域×都市規模で層化 → 地点抽出 → 個人抽出）
調査方法	郵送法（調査票を郵送し、郵送または電子で回収）。2020年9月の調査から、それまでの個別面接聴取法に代わった
実施時期	毎年1〜2月頃

考えてみよう：なぜ層化2段抽出法を使うのか。面接から郵送に変わると、回収率や回答の傾向はどう変わりうるか（→ 第11回）。

今日の課題（Moodle提出）¶

配点：100点（この授業の評価は毎回の課題100%）　／　提出期限：次回授業の開始前まで

分量の目安：300〜500字

以下のいずれかの調査（または自分で見つけた調査）を取り上げ、その標本設計について論じること。

内閣府「社会意識に関する世論調査」（最新版・内閣府ウェブサイトで公開）
NHK「日本人の意識」調査
自分で選んだ学術論文・報告書中の調査

記述する内容

調査の名称・実施機関・調査時期
母集団と標本の設計（対象・抽出方法・標本数）
標本設計の妥当性に関するあなたの評価：何が適切か、どのような限界・問題があるか

この回のまとめ¶

母集団：調査で明らかにしたい対象全体
全数調査：全員を調査 → 精度は高いがコスト大
標本調査：適切な抽出で母集団を代表できる
無作為抽出の4種類：単純無作為・系統・層化・クラスター
有意抽出：代表性より典型性・接触可能性を優先（質的研究で多用）
標本誤差：標本が大きいほど小さくなる
選択バイアス：大きさより選ばれ方（代表性）が重要
実際の調査では複数の抽出方法を組み合わせる（多段抽出）

次回予告

第11回「アンケート調査の方法と調査例」。質問文ひとつで結果は変わる。

参考文献¶

【入門書・教科書】¶

大谷信介・木下栄二・後藤範章・小松洋（編）（2013）
『新・社会調査へのアプローチ――論理と方法』ミネルヴァ書房．
→ 標本調査の論理と手続きを丁寧に解説。無作為抽出の各手法（単純無作為・系統・層化・クラスター）の説明が本回の中心的参照先。

盛山和夫（2004）
『社会調査法入門』有斐閣ブックス．
→ 第3章「標本調査の論理」が本回の内容に直接対応。母集団・標本・標本誤差の概念を丁寧に論じている。

轟亮・杉野勇（編）（2017）
『入門・社会調査法【第3版】――2ステップで基礎から学ぶ』法律文化社．
→ 標本抽出の手順を図示で解説しており、初学者にわかりやすい。演習問題も豊富。

島崎哲彦（編）（2011）
『社会調査の方法』学文社．
→ 実際の標本調査の設計・実施事例を多数収録。行政調査の標本設計を学ぶのに適した参照先。

【標本調査・統計的推測の理論】¶

竹内光悦・元治恵子・山口和範（2005）
『アンケート調査とデータ解析の仕組みがよ〜くわかる本：社会調査のためのデータの集め方と統計解析入門』秀和システム．
→ 調査票の作り方から標本の大きさ・集計・解析までを図解で追える。数式アレルギーがある学生にも読みやすい。

西内啓（2013）
『統計学が最強の学問である』ダイヤモンド社．
→ 標本調査の論理とその社会的応用を平易に解説したベストセラー。「なぜ一部でわかるのか」への直感的説明として有用。

Fowler, F. J. (2013).
Survey Research Methods (5th ed.). Sage.
→ 英語文献だが標本調査の方法論の国際標準テキスト。標本設計・回収率・調査誤差について包括的にカバー。

【選択バイアス・調査の問題】¶

谷岡一郎（2000）
『「社会調査」のウソ――リサーチ・リテラシーのすすめ』文春新書．
→ 実際の調査データの誤用・偏りを具体例で批判的に解説。選択バイアスや調査設計の問題をわかりやすく学べる。

ダレル・ハフ（著）高木秀玄（訳）（1968）
『統計でウソをつく法』講談社ブルーバックス．
（原著：Huff, D. (1954). How to Lie with Statistics. Norton.）
→ 標本の偏り・数字の見せ方のトリックを古典的な手法で解説。薄くて読みやすく、調査リテラシーの基礎として推薦。

【ウェブリソース・公的調査の事例】¶

名称	URL	概要
総務省統計局（令和2年（2020年）国勢調査）	https://www.stat.go.jp/data/kokusei/2020/index.html	国勢調査の概要・調査票・結果を公開。全数調査の実例として参照
内閣府世論調査	https://survey.gov-online.go.jp/	標本設計・調査方法・結果をすべて公開。課題の参照先として推奨
e-Stat（政府統計の総合窓口）	https://www.e-stat.go.jp/	各省庁の統計調査の概要・調査票・集計結果を横断検索
ビデオリサーチ（視聴率調査）	https://www.videor.co.jp/	民間の標本調査の代表例。関東地区は2,700世帯（2020年3月に900世帯から拡大）。地区ごとに別々の標本で推計している
統計数理研究所「日本人の国民性調査」	https://www.ism.ac.jp/kokuminsei/	1953年から継続している縦断的標本調査の実例。調査設計が公開されている

【次回（第11回「アンケート調査の方法と調査例」）に向けた事前読書】¶

以下のいずれかを事前に参照しておくと第11回の理解が深まります（任意）：

大谷信介ほか（2013）上掲書　「質問紙の設計」の章
内閣府ウェブサイトで任意の世論調査の「調査票」を1部ダウンロードして眺めておく
（例：「社会意識に関する世論調査」https://survey.gov-online.go.jp/）

調査票の質問の順番・選択肢の設計・フェイスシートの構成に注目してみてください。

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